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勾股定理
郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉 开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他 算出来吗？
A
x米
(X+1)米
C
5米
B
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勾股定理
印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷 花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”， 请用学过的数学知识回答这个问题。
C
2 X A
B
X+0.5
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勾股定理
如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B D
A E
C
牛刀小试
勾股定理
7、 已知等边三角形ABC的边长是 6cm，(1)求高AD的长；(2)S△ABC
A
B
D
C
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勾股定理
z
576
③
基础练习
勾股定理
1.在Rt△ABC中 1.在Rt△ABC中，∠C=90°， C=90° 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形 下列各组数中， １３ a=5，b=12， c=___________； ①已知一个Rt△的两边长分别为3和4， ； 若a=5，b=12（ 则c=___________ ， 不是Rt 的是（ Rt△ 不是Rt△的是 ） 3．已知一个Rt△的两边长分别为3
美丽的勾股树
勾股定理
拼图游戏
勾股定理
赵爽弦图
勾股定理
c
b
a
印度婆什迦罗的证明
勾股定理
c b a
∴ c2 = b2 + a2
直接观察验证
勾股定理
a2
a2 c2 b2 ∴ a 2 + b 2 = c2
总统法
勾股定理
a
b
c
a
c b
华罗庚:青出朱入图
勾股定理
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
华罗庚:青出朱入图
勾股定理
④
⑤ ①
b
c
a
③
②
概念复习
勾股定理
勾股定理: 勾股定理:直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理: 勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a， b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角 形是直角三角形 作用: 作用:计算长度与判断是否是直角三角 形
等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高。
A
13 13
H
提示：利用面积相等的关系
1 1 BC • AD = AC • BH 2 2
B
10
D
C
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勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D C 8 A
A A
勾股定理
B
CBΒιβλιοθήκη 探索与提高：勾股定理
如图所示，现在已测得长方体木块的长 3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜 伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这 个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
H G F B
D A C
勾股定理 （1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面
向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线， 它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线 爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到 最短路径吗？ （2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛 沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓 H B 到苍蝇？ F
求下列直角三角形中未知边的长: 求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
牛刀小试
勾股定理
5
8
17
x
20
16
x
x
12
可用勾股定理建立方程. 方法小结: 可用勾股定理建立方程
牛刀小试
勾股定理
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ② 625
G
D A C
有一个圆柱,它的 高等于12厘米,底 面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它 想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面 爬行的最短路程是 多少? (π的值取3)
勾股定理 B
我怎 么走 会最 近呢? 近呢
A
B 高 12cm A A
9cm
B
勾股定理
的值取3) 长18cm (π的值取 的值取
常见的直角三角形
勾股定理
5 3
1
2
1
1
2
3
13 7
4
25
5 24 12 41 9
40
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
8，15，17 9, 12, 15 12，35，37 20，21，29 20，99，101 48，55，73 60，91，109
3．已知一个Rt△的两边长分别为3和4， Ａ a=1.5， A、a=1.5，b=2,c=3 b=___________； ２０ 则第三边长的平方是（ Ｄ ） 则第三边长的平方是（B、a=7,b=24,c=25 a=15，c=25， ②若a=15，c=25，则b=___________； C、a=6,b=8,c=10 C、、a=3,b=4,c=5 25 D7 A、25 B、14 D 、7 或
30° °
B
勾股定理
1．若△ABC的三边a、b、c满足 ABC的三边a 的三边 +50=6a+8b+10c， ABC的面积 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积 ABC中 AB=13cm，AC=24cm， 2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证： ABC是等腰三角形 BD=5cm。求证：△ABC是等腰三角形 已知：如图， 1=∠2，AD=AE， BC上 3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上 一点， BD=DC， 求证： 一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证： A AB2=AE2+CE2
１１ ③若c=61，b=60，则a=__________； c=61，b=60， a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10， a∶b=3∶4，c=10， ２４ Rt△ABC的面积为________。 的面积为________ 则Rt△ABC的面积为________。
基础练习
勾股定理
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b） ABC的三边a 的三边 满足（ =0， ABC是 （a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ） 等腰三角形； A．等腰三角形； 直角三角形； B．直角三角形； 等腰三角形或直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； 等腰直角三角形。 D．等腰直角三角形。 2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1： ABC的三边a 的三边 满足a c=1： 试判断△ABC的形状 1： ，试判断△ABC的形状 2
E
B
D
C
勾股定理 思考题 1（05、江苏宿迁）如图，将 一根25㎝长的细木棒放入长、宽、 高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面 C 的最短长度是 ㎝．
A
B
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、 分别等于５５ ５５cm，１０cm和 分别等于５５ ，１０ 和６cm，A和B是这个台阶 ， 和 是这个台阶 的两个相对的端点， 点上有一只蚂蚁 想到B点去吃 点上有一只蚂蚁， 的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 点去吃 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发 点出发， 可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从 点出发，沿着 台阶面爬到B点 最短线路是多少？ 台阶面爬到 点，最短线路是多少？
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152
∴ AB=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米 蚂蚁爬行的最短路程是 厘米. 厘米