2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位......置上...1.已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =▲.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0,其中i 为虚数单位,则实数a 的值是▲.3.下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是▲.4.函数y =的定义域是▲.5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是▲.8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是▲.9.如图,长方体1111ABCD A B C D -的体积是120,E 为1CC 的中点,则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y =ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(-e ,-1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是▲.12.如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE =2EA ,AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ,则ABAC的值是▲.13.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,2()1(1)f x x =--,(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b ,cos B =23,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b =,求sin(2B π+的值.16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为BC ,AC 的中点,AB =BC .求证:(1)A 1B 1∥平面DEC 1;(2)BE ⊥C 1E .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1(–1、0),F 2(1,0).过F 2作x 轴的垂线l ,在x 轴的上方,l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ,与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ,连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1.已知DF 1=52.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求点E 的坐标.18.(本小题满分16分)如图,一个湖的边界是圆心为O 的圆,湖的一侧有一条直线型公路l ,湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径).规划在公路l 上选两个点P 、Q ,并修建两段直线型道路PB 、QA .规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆....O 的半径.已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C 、D 为垂足),测得AB =10,AC =6,BD =12(单位:百米).(1)若道路PB 与桥AB 垂直,求道路PB 的长;(2)在规划要求下,P 和Q 中能否有一个点选在D 处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB 和QA 的长度均为d (单位:百米).求当d 最小时,P 、Q 两点间的距离.19.(本小题满分16分)设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f (x )的导函数.(1)若a =b =c ,f (4)=8,求a 的值;(2)若a ≠b ,b =c ,且f (x )和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求f (x )的极小值;(3)若0,01,1a b c =<= ,且f (x )的极大值为M ,求证:M ≤427.20.(本小满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为“M -数列”;(2)已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列”{c n }*()n ∈N ,对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有1k k k c b c + 成立,求m 的最大值.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题........,.并在相应的答题区域内作答.............若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A (1)求A 2;(2)求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设x ∈R ,解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.(1)求n 的值;(2)设(1n a +=+*,a b ∈N ,求223a b -的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯,{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离.(1)当n =1时,求X 的概率分布;数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解:(1)因为23,3a cb B ===,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=,得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯,即213c =.所以33c =.(2)因为sin cos 2A Ba b =,由正弦定理sin sin a b A B =,得cos sin 2B Bb b=,所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =,即()22cos 41cos B B =-,故24cos 5B =.因为sin 0B >,所以cos 2sin 0B B =>,从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明:(1)因为D ,E 分别为BC ,AC 的中点,所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB ∥A1B1,所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB=BC ,E 为AC 的中点,所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ,所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1,AC ⊂平面A1ACC1,C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1,所以BE ⊥C1E.17.解:(1)设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2⊥x 轴,所以32==,因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由(1)知,椭圆C :22143x y +=,a=2,因为AF2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩,得256110x x +-=,解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+,得125y =-,因此1112(,)55B --.又F2(1,0),所以直线BF2:3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪,得276130x x --=,解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点,所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-,得32y =-.因此3(1,)2E --.18.(1)过A 作AE BD ⊥,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ,所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15(百米).(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E )到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连结AD ,由(1)知2210AD AE ED =+=,从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点,且1PB AB ⊥,由(1)知,1P B=15,此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=;当∠OBP>90°时,在1PPB △中,115PB PB >=.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,2222156321CQ QA AC =-=-=.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ=321时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为17+321(百米).19.解:(1)因为a b c ==,所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-.因为(4)8f =,所以3(4)8a -=,解得2a =.(2)因为b c =,所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-,从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.令()0f 'x =,得x b =或23a b x +=.因为2,,3a ba b +,都在集合{3,1,3}-中,且a b ≠,所以21,3,33a ba b +===-.此时2()(3)(3)f x x x =-+,()3(3)(1)f 'x x x =+-.令()0f 'x =,得3x =-或1x =.列表如下:x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-.(3)因为0,1a c ==,所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++,2()32(1)f 'x x b x b =-++.因为01b <≤,所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>,则()f 'x 有2个不同的零点,设为()1212,x x x x <.由()0f 'x =,得1211,33b b b b b b x x ++==.列表如下:x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =.()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤.因此427M ≤.20.解:(1)设等比数列{an}的公比为q ,所以a1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩.因此数列{}n a 为“M —数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠.由1111,b S b ==得212211b =-,则22b =.由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-,当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知,bk=k ,*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”,设公比为q ,所以c1=1,q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1,所以1k k q k q -≤≤,其中k=1,2,3,…,m.当k=1时,有q ≥1;当k=2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-.设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x -=.令()0f 'x =,得x=e.列表如下:x(1,e)e (e ,+∞)()f 'x +–f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==.取q =k=1,2,3,4,5时,ln ln kq k,即k k q ≤,经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上,所求m 的最大值为5.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.A .[选修4–2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=,解得A 的特征值121,4λλ==.B .[选修4–4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)设极点为O.在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB==.(2)因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=,则直线l 过点2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C .[选修4–5:不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.解:当x<0时,原不等式可化为122x x -+->,解得x<–13:当0≤x ≤12时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;当x>12时,原不等式可化为x+2x –1>2,解得x>1.综上,原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解:(1)因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ,,所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====,44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==.因为23242a a a =,所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯,解得5n =.(2)由(1)知,5n =.5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ,所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=,从而222237634432a b -=-⨯=-.23.解:(1)当1n =时,X的所有可能取值是12.X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======,22662222(2),(C 15C 15P X P X ======.(2)设()A a b ,和()B c d ,是从n M 中取出的两个点.因为()1()P X n P X n ≤=->,所以仅需考虑X n >的情况.①若b d =,则AB n ≤,不存在X n >的取法;②若01b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;③若02b d ==,,则AB =≤,因为当3n ≥n ≤,所以X n >当且仅当AB =,此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法;④若12b d ==,,则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==,或 0a n c ==,,有2种取法.综上,当X n >时,X,且22242442(,(C C n n P X P X ++====.因此,2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-.。