求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；
(3)设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k
的值．
考点剖析 本题考查了反比例函数性质、二次函数性质、待定系数法、勾股定理、数
形结合思想等，是一道难度较大的综合题．将“△ABQ 是直角三角形”这一条件与反比例
函数图象的中心对称性结合是解 题的关键．
解 (1)易得 y＝－ 2 ； x
(2)在反比例函数 y＝ k 中，如果 y 随 x 增大而增大，那么 k<0． x
当 k<0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大，
因为抛物线 [来源:Z*xx* k. Com]
y＝k（x2＋x＋1）＝k(x＋)2－ 5 k 的对称轴是直线 x＝－ 1 ．
解题思路 (1)直接设 y＝0，解一元二次方程即可得答案；(2)△ACB 的面积可以说是 已知的，然后由“△ACD 的面积等于△ACB 的面积”，可求出点 D 的坐标，注意点 D 可 能在 AC 的上方，也可能在其下方，要分类讨论；(3)条件“以 A、B、M 为顶点所作的直
角三角形有且只有三个”隐含的意义就是只能是这三个顶点分别为直角三角形的直角顶
二次函数中因动点产生的直角三角形压轴题问题
动点问题是近年来中考的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题， 变为静态问题来解．一般方法是，首先根据题意，理清题目中两个变量 x、y 的变化情况， 并找出相关常量；第 二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相 关的量用一个自变量的表达式表达出来；第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象．
其实就是一个已知条件，通过两者间的关系建立模型，进而求解．
例 2 如图 4，在平面直角坐标系中，
反比例函数与二次函数 y＝k（x2＋x－1）的图象交于点 4（1，k）
和点 B（－1，－k）．
(1)当 k＝－2 时，求反比例函数的解析式；
(2)要使反比例函数与二的增大而增大， [来源:学科网]
点 D'．
设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H．
由 BD∥AC，得∠DBG＝∠CAO，
∴ DG CO 3 . BG AO 4
∴DG＝ 3 BG＝ 9 ，
4
4
点 D 的坐标为(1，－ 9 )． 4
∵AC∥BD，AG＝BG，∴HG＝DG．
而 D'H＝DH，∴D'G＝3DG＝ 27 ， 4
解题思路 (1)用待定数法求反比例函数的解析式；(2)根据 k 的值确定反比例函数的 增减性和二次函数图象的开口方向，根据对称轴公式“x＝－ b ”确定 x 的取值范围；(3)
2a 根据反比例函数图象关于原点对称，将“△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形”等价转化
为“OQ＝OA”，进一步得 OQ2＝OA2，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定 理求解．
所以 D'的坐标为（1， 27 ）； 4
(3)如图 3，过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是有交点的，即 2
个点 M．
以 AB 为直径的⊙G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，
就只有 1 个点 M 了．
连结 GM，那么 GM⊥l．
在 Rt△EGM 中， GM＝3，GE＝5，∴EM＝4； 在 Rt△EM1A 中， AE＝ 8，tan∠M1EA＝ M1A 3 ，
例 1 如图 1，抛物线 y＝－ 3 x2－ 3 x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 84
侧），与 y 轴交于点 C． (1)求点 A、B 的坐标； (2)设点 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积
时，求点 D 的坐标； (3)若 直线 l 过点 E(4，0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三
点，据此，可以先画出相应的直线，然后由待定系数法求解．
解 (1)易得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A（－4，0）、B(2，0)，对称轴是直线 x＝－1；
(2)△ACD 与△ACB 有公共的底边 AC，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点 B、
D 到直线 AC 的距离相等，
如图 2，过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的
4
2
所以当 k<0，且 x<－ 1 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大； 2
(3)抛物线的顶点 Q 的坐标是（－ 1 ，－ 5 k)．A、B 关于原点 O 中心对称，当 OQ＝ 24
OA＝OB 时，△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形，由 OQ2＝OA2，得


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角 形有且只有三个时，求直线 l 的解析式． 考点剖析 本题是一道二次函数的综合题，考查求函数图象与坐标轴的交点坐标和对
称轴，解一元二次方程，求三角形的面积，求过两点的直线解析式，直角三角形的定义， 两点间的距离计算、对称点的坐标以及分类讨论的数学思想．求出抛物线与 x 轴的交点及 其对称是解题的关键；掌握分类讨论的思想是完全解决这道的核心“工具”．
AE 4 ∴M1A＝6． 所以点 M1 的坐标为（－4，6）， 过 M1、E 的直线 l 为 y＝－ 3 x＋3．[来源:学科网]
4 根据对称性，直线 x 还可以是 y＝ 3 x＋3．
4 考点伸展 第(3)题中的直线 l 恰好经过点 C，因此 可以过点 C、E 求直线 l 的解析式． 在 Rt△EGM 中， GM＝3，GE＝5．∴EM＝4： 在 Rt△ECO 中， CO＝3，EO＝4，，∴CE＝5． ∴△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO． 所以直线 CM 过点 C． 规律总结 解决函数类综合题，通常都是先根据已知条件求 出“关键点”和“关键线”， 比如本题中 A、B 的坐标和对称轴．当然，本题命题时已经注意到了这一点，并且 设计成 一个小问题了，如果题中没有这一问，一般也需要先求出关键点的坐标；当题中设计两个 几何图形之间具有某种关系时，比如本题中设计两个三角形面积相等，一般其中一个图形