习 题 一1.写出下列随机试验的样本空间：（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. 1.（1）{}10,11,;S = （2）{}1),(22<+=y x y x S ，（3）{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S .其中0表示次品，1表示正品.2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.”2.【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反 3.设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生，B 与C 不发生. （2）A 与B 都发生，而C 不发生. （3）C B A ,,中至少有一个发生. （4）C B A ,,都发生. （5）C B A ,,都不发生.（6）C B A ,,中不多于一个发生. （7）C B A ,,中不多于两个发生. （8）C B A ,,中至少有两个发生.3.【解】（1） A BC （2） AB C （3）A ∪B ∪C （4）ABC (5) C B A (6) C B C A B A ⋃⋃(7) A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C (8) AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC= AB ∪BC ∪CA .4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”.（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ； （3）什么时候关系式B C ⊆正确； （4）什么时候等式B A =成立.4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.5.盒中有10只晶体管. 令i A 表示“10只晶体管中恰有i 只次品”， B 表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C 表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件(0,1,2,3)i A i =，B ，C 之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？5. ,0,1,2,3i A B i ⊂=；0123,,,,A A A A C 两两互不相容，B 与C 互不相容；B 与C 互逆。

6. ,A B 是任意两个事件，化简下列式子 （1）()()()()AB A B A B A B ； （2）AB AB AB AB AB ⋃⋃⋃-.6. （1）∅； （2）AB .7.若()0.5P A =，()0.2P AB =，()0.4P B =，试求（1）()P AB ；（2）()P A B -；（3）()P A B ⋃；（4）()P A B . 7. （1）因为()()()()P AB P B A P B P AB =-=-，故()()()0.40.20.2P AB P B P AB =-=-=；（2）()()()1()()0.3P A B P A P AB P A P AB -=-=--=； （3）()()()()0.7P A B P A P B P AB ⋃=+-=； （4）()()1()0.3P AB P A B P A B =⋃=-⋃=.8.观察某地区未来5天的天气情况，记i A 为事件“有i 天不下雨”，已知0()(),1,2,3,4,5i P A iP A i ==，求下列事件的概率.(1) 5天均不下雨； （2）至少有一天不下雨； （3）至多三天不下雨.8.易知015,,,A A A ⋅⋅⋅两两互不相容且015A A A S ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=，所以()()()()()0150151P S P A A A P A P A P A ==⋃⋃⋅⋅⋅⋃=+++()()()()()000002516P A P A P A P A P A =++++=于是得()01/16P A =，()/16,1,2,3,4,5i P A i i ==.记（1），（2），（3）所表示的事件分别为C B A ,,，则 （1）()()01/16P A P A ==； （2）()()0115/16P B P A =-=（3）()()()45114/165/167/16.P C P A P A =--=--= 9. 设,A B 是两事件，且()0.6P A =，()0.7P B =，问 （1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？9. （1）A B ⊂时，()P AB 取到最大值0.6 （2）()1P A B ⋃=时，()P AB 取到最小值0.3。

10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比.10.3.011. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？11. p =5332131313131352C C C C /C12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 12.设,,A B C 分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则34323()48P A ⋅⋅==； 34111()416P C ⋅⋅==；319()1()()181616P B P A P C =--=--=.13. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2，…，9）.13. 这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410A 种排法,故所求概率为4410/10P A =.14.对一个五人学习小组考虑生日问题，求下列事件的概率： （1）五个人的生日都在星期日； （2）五个人的生日都不在星期日； （3）五个人的生日不都在星期日.14.（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P （A 1）=517=（17）5（2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)5. 15.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？15. 与次序无关,是组合问题.从17桶油漆中取9桶,有917C 种取法. 由乘法原理,取4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的取法为4321043C C C种,所以所求概率为43210439172522431C C C P C ==. 16.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200个.（1）求恰有10个次品的概率； （2）求至少有2个次品的概率.16.（1）1019040011002001500C C C ；（2）20015001991100140020011001C C C C +-. 17. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？17.将部件从1到10编号，i A 表示“i 号部件强度太弱”，故35011(),1,2,,10.19600i P A i C ===因1210,,,A A A 两两互不相容，因此10个部件中有一个部件强度太弱的概率是()()()()12101210P P A A A P A P A P A =⋃⋃⋃=+++=101196001960=.18. 从1至9这九个数中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的三个数之积能被10整除的概率．18.解 设“所取的3个数中含有数字5”为事件A 1, “所取的3个数字中含有偶数”为事件A 2,“所取的3个数之积能被10整除”为事件A ,则A = A 1 A 2,故1212121212333()()1()1()1()()()8541()()()0.214.999P A P A A P A A P A A P A P A P A A ==-=-⋃=--+=--+=19.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.19. 记9点为计算时刻的0时，以分钟为单位．设甲、乙两人到达指定地的时刻分别为x 、y ，则样本空间S 是0,60x y ≤≤.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于30x y ->.如图阴影部分所示.题19图22301604P ==.20.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.20. 设两数为,x y ，则0,1x y <<.（1）x y +<65，11441725510.68125p =-==.(2) xy <14，1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰.21.设一个质点一定落在xoy 面内由x 轴、y 轴及直线1=+y x 所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成比例.计算这质点落在直线31=x 的左边的概率. 21.59. 22.甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:151:301:452:00,,,.如果他们约定（1）见车就乘；（2）最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率. 假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.22.（1）41164=； （2）105168= 23.已知()B A B P B A P B P A P 求,5.0)(,4.0)(,3.0)(===.23. 25.0.24.某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率.24.72.025.一批零件共100个，次品率为10%.每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.25.0.0083.26.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律： 5.0}/{6.0}{==孩子得病母亲得病孩子得病，P P ，4.0}{=母亲及孩子得病父亲得病P . 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.26. 18.0. 27.假设n 张体育彩票中只有一张“中奖”, n 个人依次排队摸彩（不放回），试求 （1）已知前)(1n k k ≤-个人都未“中奖”，求第k 个人“中奖”的概率； （2）求第)(n k k ≤个人摸彩时“中奖”的概率.27.（1）在缩小的样本空间考虑，11+-k n ；（2）积事件的概率，n 1.28.两台车床加工同样的零件。