《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。

（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。

解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。

故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。

（2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。

（3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。

（4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。

2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。

（3）A，B，C中至少有一个发生。

（4）A，B，C都发生。

（5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。

（7）A，B，C中不多于两个发生。

（8）A，B，C中至少有两个发生。

解：（1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC（5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C（7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P （AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。

（2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。

（3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A B）。

解：（1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。

故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。

（2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15,P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+ 1/30=51/60，P(A B C)=1- P（A∪B∪C）=3/20,P(A B C)=P（A B）- P(A B C)=7/60，P(A B∪C)=P（A B）+ P(C)- P(A B C)=4/15+1/5-7/60=7/20。

（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P（AB）=0。

故P（A B）=P（A）-P（AB）=1/2。

（ii）P（A B）= P（A）-P（AB）=1/2-1/8=3/8。

4、设A，B为两个事件。

（1）已知A B=A B，验证A=B。

（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P （AB）。

证明：（1）A=A（B∪B）=AB∪A B=AB∪A B=（A∪A）B=B。

（2）因为A B A B =Φ，所以P（A B∪A B）= P（A B）+ P（A B）- P （A B A B）= P（A B）+ P（A B）=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-2P（AB）。

5、10 片药片中有5 片是安慰剂。

（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。

（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。

解：（1）p=1-5C/510C-15C45C/510C。

5（2）p=3A/310A。

56、在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小号码为5的概率。

（2）求最大号码为5的概率。

解：（1）从10人中任选3人的选法有310C 种。

要求最小号码为5，即有一个人的号码是5，其他两人的号码都在6到10之间。

故共有25C 种不同的选法。

故最小号码为5的概率p=25C /310C 。

（2）同理最大号码为5的概率p=24C /310C 。

7、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。

问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？ 解：p=410C 34C 23C /917C 。

8、在1500件产品中有400 件次品、1100件正品。

任取200件。

（1）求恰有90件次品的概率。

（2）求至少有2件次品的概率。

解：（1）恰有90件次品的概率p=90400C 1101100C /2001500C 。

（2）至少有2件次品的概率p=1- 2001100C /2001500C -1400C 1991100C /2001500C 。

9、从5双不同的鞋子中任取4只。

问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：设A为事件“这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是A。

从10只鞋子中任取4只有4A种取法，10事件A的取法可以有10（第一只的取法）×8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）×6（第三只的取法）×4（第一只的取法）。

故P（A）=164A/410A。

P（A）=1-P（A）=1-1645A/410A。

510、在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。

解：从11个字母中选取7个字母有7A种选法。

由于b和i各有两个，11故排列ability共有4种不同的选法。

因此排列结果为ability的概率p=4/7A。

1111、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

解：杯子中球的最大个数为1的概率p=3A/43。

4杯子中球的最大个数为2的概率p=1--1A/43-34A/43。

4杯子中球的最大个数为3的概率p=1A/43。

412、50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱。

每个部件用3只铆钉。

若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。

问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：一个部件强度太弱的事件相当于从50只铆钉中随机地选出的3只铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。

故p=110C /350C 。

或p=110C 2747C /330C 3050C 。

13、一个俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。

（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。

（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。

解：（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率=15C 12C 13C 12C 18C /412C 。

（2）设事件A 为“一年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件B 为“二年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件C 为“三年级有2名学生，其他年级各有一名”，事件D 为“四年级有2名学生，其他年级各有一名”，。

则A ，B ，C ，D 两两不相容，且P （A ）=25C 12C 13C 12C /512C ，P （B ）=15C 22C 13C 12C /512C ，P （C ）=15C 12C 23C 12C /512C ，P （D ）=15C 12C 23C 22C /512C ，所以在其中任选5名学生，一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率=P （A ）+P （B ）+P （C ）+P （D ）=240/512C 。

14、（1）已知P（A）=0.3，P（B）=0.4，P（A B）=0.5，求条件概率P（B|A∪B）。

（2）已知P（A）=1/4，P（B｜A）=1/3，P（A｜B）=1/2，求P（A ∪B）。

解：（1）因为P（B|A∪B）=P（B（A∪B））/P（A∪B），P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A B）=1- P（A）+1- P（B）-0.5=0.8，P（B（A∪B））=P（AB）=P(A)-P（A B）=0.7-0.5=0.2，所以P（B|A∪B）=0.25。

（2）因为P（B｜A）=P（AB）/P（A），所以P（AB）=1/12。

又因为P（A｜B）=P（AB）/P（B），所以P（B）=1/6。

故P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1/3。

15、掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

16、据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P｛孩子得病｝=0.6，P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5，P｛父亲得病|母亲及孩子得病｝=0.4，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：设事件A为“孩子得病”，事件B为“母亲得病”，事件C为“父亲得病”，则要求的概率为P（AB C）。

由已知，P（A）=0.6，P（B|A）=0.5，P（C|AB）=0.4，所以P（ABC）=P（AB）P（C|AB）=P（A）P（B|A）［1- P（C|AB）］=0.6×0.5×0.6=0.18。

17、已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。

求下列事件的概率。

（1）两件都是正品。

（2）两件都是次品。

（3）一件是正品，一件是次品。

（4）第二次取出的是次品。

解：设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则（1）两件都是正品的概率P（AB）=2C/210C（或=P（A）P（B|A）=4/58×7/9）。

（2）两件都是次品的概率P（A B）=2C/210C（或=P（A）P（B|A）2=1/5×1/9）。

（3）一件是正品，一件是次品的概率P（A B∪A B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/5×2/9+1/5×8/9。

（4）第二次取出的是次品的概率P（B）=P（A B）+P（A B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/5×2/9+1/5×1/9。

18、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。