导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。

2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。

5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．7．函数的极值x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ②近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑=ni 1f(ξi )Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x)dx ，即⎰baf (x )d x ＝_________．________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x)dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰ba kf(x)dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x)]dx f ±(x)[f 21＝________________；③⎰baf (x)dx ＝⎰caf (x)dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x)dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x)dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。

（5）常用公式 ①⎰ba cdx ＝cx |b a (c 为常数)； ②⎰badx x n＝1n ＋1x n ＋1|ba (n ≠－1)； ③⎰ba1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)； ④⎰basinxdx ＝－cos x |b a ；⑤⎰bacosxdx＝sin x |b a ；⑥⎰badx e x＝e x |ba；⑦⎰badx a x＝a x ln a |ba (a >0且a ≠1)．1．若直线y ＝－x ＋b 为函数y ＝1x 的图象的切线，求b 及切点坐标．2．曲线y ＝23x 2在点(3,6)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________________．3．设y ＝sin x1＋cos x ，－π<x <π，当y ′＝2时，x =________________．4．求下列函数的导数．①y ＝x 2sin x ②y ＝x 2(x 2－1) ③y ＝1x ＋22x ＋33x④y ＝x ·tan x ⑤y ＝ln sin xx⑥y ＝x 1－x⑦y ＝sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 45．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0. (1)求a ，b 的值；16．设函数f (x )＝ax －a x－2ln x .(1)f ′(2)＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．7．已知f(x)＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．8．设函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x ∈[－1,1]内没有极值点，求a 的取值范围；(3)若对任意的a ∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x ∈[－2，2]上恒成立，求m 的取值范围．9．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．10．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x 元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．11．计算⎰-33(9－x 2－x 3)d x 的值；12．求下列定积分： (1)⎰31⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x (2)⎰94x (1＋x )d x (3)⎰26ππcos 2x d x （4）⎰-222|x －x |d x .13．求直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积．6题：(1)由已知得x >0，故函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，∴f ′(2)＝a ＋a 4－1＝0，∴a ＝45.∴f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x2(2x 2－5x ＋2)，令f ′(x )>0，得0<x <12或x >2，令f ′(x )<0，得12<x <2，(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0对x >0恒成立，因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋ax 2，所以需x >0时ax 2－2x ＋a ≥0恒成立， 即a ≥2xx 2＋1对x >0恒成立．因为2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤1，当且仅当x ＝1时取等号，所以a ≥1.7题：因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝9 .当a ＝1，b ＝3时，f ′(x)＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f(x)在R 上为增函数，无极值，故舍去；当a ＝2，b ＝9时，f ′(x)＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； 当x ∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x ＝－1时取得极小值．因此a ＝2，b ＝9. 8题：(1)∵f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x －a3)(x ＋a )，又a >0，∴当x <－a 或x >a 3时，f ′(x )>0；当－a <x <a3时，f ′(x )<0.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a 3，＋∞)，单调递减区间为(－a ，a3)．(2)由题设可知，方程f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝0在[－1，1]上没有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)<0，f ′(1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a －a 2<0，3＋2a －a 2<0，∵a >0，∴a >3.(3)∵a ∈[3,6]，∴a3∈[1,2]，－a ≤－3， 又x ∈[－2,2]，∴当x ∈[－2，a 3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(a3，2]时，f (x )单调递增，故f (x )的最大值为f (2)或f (－2)．而f(2)－f(－2)＝16－4a 2<0，f(x)max ＝f(－2)＝－8＋4a ＋2a 2＋m ， 又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立， ∴－8＋4a ＋2a 2＋m ≤1，∵9－4a －2a 2的最小值为－87， ∴m ≤－87.9题：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19，所以，当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2， 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 因为0<a <2，所以x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，所以f (4)<f (1)，所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝10310题：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝(24200－15x 2)x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000 (x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为：f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 11题由定积分的几何意义得⎰-339－x 2d x ＝π×322＝9π2，⎰-33x 3d x ＝0，由定积分性质得⎰-33(9－x 2－x 3)d x ＝⎰-339－x 2d x －⎰-33x 3d x ＝9π2. 13题：(1)如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，或⎨⎪⎧x ＝－2，实用标准∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝ 20(4x－x3)d x＝(2x2－44x)|20＝8－4＝4. 文案大全。