3.1 圆
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列说法正确的是 ( )
A. 长度相等的弧是等弧
B. 半圆不是弧
C. 直径是弦
D. 过圆心的线段是直径
2. 根据下列条件，能且只能画一个圆的是 ( )
A. 经过点A且以r为半径画圆
B. 经过点A，B且以r为半径画圆
C. 经过△ABC的三个顶点画圆
D. 过不在同一条直线上的四个点画圆
3. 若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是 ( )
A. 点A在圆外
B. 点A在圆上
C. 点A在圆内
D. 不能确定
4. 给出下列说法：① 直径相等的两个圆是等圆；② 长度相等的两条弧是等弧；③ 圆中最长的弦
是通过圆心的弦；④ 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．正确的有 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠A=25∘，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交
⏜的度数为 ( )
AC于点E，则BD
A. 25∘
B. 30∘
C. 50∘
D. 65∘
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直
径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是 ( )
A. 点P在⊙O内
B. 点P在⊙O上
C. 点P在⊙O外
D. 无法确定
7. ⊙O的半径r=10 cm，圆心到直线l的距离OM=8 cm，在直线l上有一点P，且PM=6 cm，
则点P ( )
A. 在⊙O外
B. 在⊙O上
C. 在⊙O内
D. 可能在⊙O内，也可能在⊙O外
8. 如图，AB是圆O的直径，它把圆O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交圆O于点P，当C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P ( )
A. 到CD的距离保持不变
B. 位置不变
C. 随C点的移动而移动
D. 等分BD
9. 半径为R的圆内接正三角形的面积是 ( )
A. √3
2R2 B. πR2 C. 3√3
2
R2 D. 3√3
4
R2
10. 下列说法中正确的有 ( ) 个.
①直径相等圆一定是等圆；② 两个半圆一定是等弧；③ 平分弦的直径垂直于弦；
④ 等弧所对的弦相等；⑤相等的圆心角所对的弦相等；⑥圆上两点间的部分叫做弦．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（共10小题；共50分）
11. 判断：（1）直径是圆中最长的弦；
（2）弦是直径；
（3）大于半圆的弧叫优弧；
（4）小于半圆的弧叫劣弧；
（5）圆上各点到圆心的距离相等，都等于圆的半径；
（6）优弧大于劣弧；
（7）直径大于弦．
12. 已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6 cm和8 cm，则它的外接圆的半径为cm．
13. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆
面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．
14. 圆的半径为4，则弦长x的取值范围是．
15. 如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(4,3)、(0,−1)，则△ABC外接
圆的圆心坐标为．
16. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，若∠A=
65∘，则∠DOE=∘．
17. 已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，则当OP=5 cm时，点A在⊙O；
当OP=8 cm时，点A在⊙O；当OP=10 cm时，点A在⊙O．
18. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠A=25∘，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交
⏜的度数为
AC于点E，则BD
19. 在平面直角坐标系xOy中，A(一m,0)，B(m,0)（其中m>0），点P在以点C(3,4)为圆心，
半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB=90∘，那么（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．
20. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16 cm2，则该半圆的半径
为．
三、解答题（共3小题；共39分）
21. 已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作
DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
22. 某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象（如图所示，△ABC即是），公司领
导让工人师傅做一个圆形广告牌，将破损面全部覆盖住，工人师傅量得∠B=45∘，∠C=30∘，BC=4 m．为使所做广告牌最小，工人师傅给出两种方案：
（i）作△ABC的外接圆；
（ii）以BC为直径作圆．问：哪个方案中的圆面积最小?最小面积是多少?
23. 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
Ⅰ求证：∠AOC=∠BOD；
Ⅱ试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C
4. B
5. C
6. A
7. B
8. B
9. D 10. A
第二部分
11. \（ \surd \）；\（ \times \）；\（ \surd \）；\（ \surd \）；\（ \surd \）；\（ \times \）；\（ \times \）
12. \（ 5 \）
13. \（{\sqrt{5}} \）
14. \（ 0<x\leqslant 8 \）
15. \（\left（2，1\right）\）
16. \（50^\circ \）
17. 内；上；外
18. \（ 50^\circ \）
19. （1）\（ m \）；（2）\（ 3 \）
20. \（4\sqrt 5 \ {\mathrm{cm}}\）
第三部分
21.
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1=∠2．
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AE=DE．
∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB=90∘．
∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90∘．
∴∠EBD=∠EDB．
∴BE=DE．
∴AE=BE=DE．
∵过A，B，D三点确定一圆，
又∠ADB=90∘
∴AB是A，B，D所在的圆的直径．
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．
22. ∵∠A=180∘−∠B−∠C=180∘−45∘−30∘=105∘，∴△ABC为钝角三角形，
∴△ABC的外心在三角形外部．
设其外接圆圆心为O，连接BO，CO，如图．
则BO+CO>BC，即BO>1
2
BC．
∵以BC为直径作圆时半径为1
2
BC，
∴方案（ii）的圆面积较小，面积为π×(1
2BC)
2
=π×22=4π．
答：方案（ii）中圆的面积最小，是4π(m2)．23. （1）在△OAB中，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B．
同理可证∠OCD=∠ODC．
又∠AOC=∠OCD−∠A，∠BOD=∠ODC−∠B，∴∠AOC=∠BOD．
（2）AC=BD．
可作OE⊥AB于E．
在小⊙O中，
∵OE⊥CD，
∴CE=DE．
在大⊙O中，
∵OE⊥AB，
∴AE=BE．
∴AE−CE=BE−DE，即AC=BD．。