工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量二工作效率X工作时间，工作时间=工作量十工作效率，工作效率二工作量十工作时间。

工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。

例如，工程的一半表示成扌，工程的三分之一表示为孑工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。

单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。

工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效率是身和同理，乙队的工作效率是当。

两队合干的工作效率是（点#占）。

100 150 100 150由柿工作4 = 1作效率x工作时间J w天的工作量是1 . 1 1 5f十-—}x50 = —+ -- -100 150;236剰下的工作量是（1-|）0由「『工作时间=工作量▼工作效率：剩下的工作量由乙队干还需例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。

问：甲队干了多少天？分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

2 13二（】L弓）&托二弓X 二12〔天）0答：甲队干了12天。

例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了卩~&寺X旬+詁3 （天）:.例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。

如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。

这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。

首先求出两人合作完成需要的时间，1 * （—+ —）—12〔时）cv20 30再求岀每小时张比王多做的零件数，60^12=5 （个）。

最后求岀这批零件的总埶5-d-^）= 300 （个）o20 30例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。

如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？分析与解；以满池水为单位4 !时放水管可使水増加-排水管可使水减少》同时开吋可使水増加放水管打开1吋后，池内己经有+ 的加与半池水还差（*卡），所以要达到半池水，还需、2 弓T 10 35 4 ' "例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。

走完全程甲需60分钟，乙需40分钟出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。

甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。

甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。

我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。

「护斫诘4宀诂"（分）答：甲再出发后15分钟两人相遇练习11. 某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。

甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。

求乙队在中间单独工作的天数。

3. 一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。

现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。

这条水渠由甲队单独挖需多少天？4甲、乙二人植树，若单独完成则甲比乙所需的时间多、若两人倉干,则完成任务时乙比甲多植50棵。

这批树共有多少棵?5. 修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。

现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。

这段公路长多少米？6. 蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24时注满。

如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7. 两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从乙地到甲地多用+的时间。

女竦两车同时开出，那么相遇时快车比慢车多行40千米。

求甲、乙两地的距离。

答案与提示练习21 ?天&解・卜诘+*"（天）*2.14 天。

解=+ 斗寺-10 = 2 （天）e3.120 天。

解：乙队的工作皴率为（「寻X⑵+24二君，甲队单独挖需1* 30 " 40 =120〔天）°4.350 棵。

4 4解：乙的工作效率是甲的审所以乙完成工作量的》甲完成〒，这批树4 3共有±0* C〒巧）-350〔棵）°5.6000 米。

解i 7恥2+ 陆一令仲（挣为］｝=6QQQ （米）.6.8 时。

提示：甲管12时都开着，乙管开⑴护⑵-茶班时）e7.280千米。

解’快车从乙地到甲地用“ a+斗）之（时）。

两车相遇需相遇时快车比慢车多行全程的（二打><专=£，所以甲、乙两地相距0 o / /40* | = 280 （千米）.工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。

在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。

例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20 天, 那么乙接着做8天可完成。

如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：乙如天甲5is;—乙2D天从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。

于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24 （天）完成，即乙的工作奴率为吕。

又因为乙工作4天的工作量和甲工作跃的工作24量相等，所以甲的工作效率是乙雌，为$ 卜和甲、乙合做这一工程，需用的时间为例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的冒，如果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作的工作效率是-但甲、乙两队一天也没有合作过.为了解决这个问题，我们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再单独做3天J这样，就可以把合作的工作奴率丄用上了。

1 ?甲*乙两队合作4天完成的工程量乙再做3天就可完成工十13程量的挣由此求出乙的工作效率为剩下的工程乙队还需干（天）o例3单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。

问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的•因为单独做，乙比甲^ffi3 + 2 = 5 （天），所以甲需〔天），乙需要10+5=15（天）。

甲、乙合作需要1吩十亠拆C天)c例4放满一个水池的水，若同时打开1 , 2, 3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2, 3, 4号阀门，贝U 21分钟可以完成；若同时打开1, 3, 4号阀门，贝U 28分钟可以完成；若同时打开1, 2, 4号阀门，贝U 30分钟可以完成。

问：如果同时打开1, 2, 3, 4号阀门，那么多少分钟可以完成？分析与解：同时打开1, 2, 3号阀门1分钟，再同时打开2, 3, 4号阀门1分钟，再同时打开1, 3, 4号阀门1分钟，再同时打开1, 2, 4号阀门1分钟，这时，1, 2, 3, 4号阀门各打开了3分钟，放水量等于一池水的袒V +A二所以同吋打开h 2. £4号阀门，放满一池水需zU 21 Z Q 3Ur（护*+存却T =片（｝ 3）= 1+ = 18 （分）*例5某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成。

如果按一、二、三、四、一、二、三、四、… 的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是] 1 1 7(- + ^-+^)-2 = -.四个小队各干了6天即24天后，还剩下工程量的a 1!□4©1—X*二又因为一、二三小队合干需咲即r 二三小队各干1天完成工程量的,所以工程由三小队最后完成欄O例6甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做, 恰好整天做完，并且结束工作的是乙。

若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用丄天；若按丙、甲*乙的顺序轮流去做，则比原计划多用£天。

已知甲单独做完这件工作需曼9天，那么甲、乙丙三入一起做这件工作，要用多少天才能完成？分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。

在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。

所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

甲乙丙 .. 丙甲乙乙丙*甲乙丙甲 .. 甲丙甲乙……乙丙甲+乙由最后一轮完成的工作量相同，得到甲+乙=乙+丙+土甲，①乙+丙十押=丙+甲+匕②由①式得到：丙二+甲，由②式得到匕乙二扌甲。

甲*乙丙三人合7 1 Q做一天等于甲做1 +扌+ 4扌（天），推知三人合做需用练习21.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。

甲完成1 2任务的｛时乙加工了仍个零件，甲完成彳时乙完成了一半。

问’这批零件共j3有多少个?2—件工程，甲.乙合做6天能完成汶单独做，甲完成!与乙完成舟所6 5 2需的时间相等。

问：甲、乙单独做各需多少天？3. 加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。

现在王师傅先做2时，剩下的两人合做，还需要多少小时？4. 甲、乙丙三人合修一围墙，甲、乙合修茨傷好围墙的乙、丙合傷2天修好余下的右剩下的甲*丙又合傷了于天才完成。