参数方程(教案)A一、知识梳理：(阅读教材:选修4-4第21页至39页) 1、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。

这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。

圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。

4．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b +=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b+=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，2π）。

注：椭圆的参数方程中，参数ϕ的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2π的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

但当02πα≤≤时，相应地也有02πϕ≤≤，在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程（不要求掌握）以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221(0,0),x y a b a b-=>>其参数方程为sec ()tan x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中3[0,2),.22ππϕπϕϕ∈≠≠且 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),y x a b a b-=>>其参数方程为cot ((0,2).csc x b e y a ϕϕϕπϕπϕ=⎧∈≠⎨=⎩为参数，其中且 以上参数ϕ都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)y px p =>的参数方程为22().2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数7．直线的参数方程经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线l 的普通方程是00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩()t 为参数，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任一点M(x,y)为终点的有向线段M 0M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量，当点在M 上方时，t ＞0；当点M 在M 0下方时，t ＜0；当点M 与0M 重合时，t =0。

我们也可以把参数t 理解为以0M 为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

二、题型探究探究一：把参数方程化为普通方程 例1：已知曲线C 1：{x =−4+cost y =3+sint (t 为参数)， C 2：{x =8cosθy =3sinθ(θ为参数)（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t =π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：{x =3+2ty =−2+t(t 为参数)的距离的最小值。

解答：（Ⅰ）C 1:(x +4)2+(y −3)2=1,C 2 :x 264+y 29=1C 1为圆心是（-4，3），半径是1的圆。

C 2为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（Ⅱ）当t =π2时，，故C 3为直线x-2y-7=0，M 到C 3的距离从而cos θ=45,sin θ=35时,d 取得最小值8√55探究二：椭圆参数方程的应用例2：在平面直角坐标系xoy 中，点p(x,y)是椭圆x 23+y 2=1上的一个动点，求s=x+y 的最大值解答： 因椭圆x 23+y 2=1的参数方程为{x =√3cos∅y =sin∅(∅为参数),故可设动点P 的坐标为(√3cos∅,sin∅)，其中0≤∅<2π因此，S=x+y=√3cos∅+ sin∅ =2sin(∅+π3)所以，当∅=π6时，S 取最大值2探究三：直线参数方程的应用 例3：过点作倾斜角为的直线与曲线x 2+2y 2=1交于点M,N ， 求|PM||PN|的最小值及相应的的值。

解析：设直线为，代入曲线并整理得，则所以当时，即α=π2，|PM|∙|PN|的最小值为34，此时α=π2。

探究四：圆的参数方程的应用 例4：已知曲线C 的参数方程是为参数)，且曲线C 与直线=0相交于两点A 、B（1）求曲线C 的普通方程；（2）求弦AB 的垂直平分线的方程（3）求弦AB 的长解答：（1）由所以，曲线C 的普通方程为(x －2)2+y 2=2 (2）因为，所以AB 的垂直平分线斜率为又垂直平分线过圆心（2，0），所以其方程为y=（3）圆心到直线AB 的距离，圆的半径为r=√2所以探究五：参数方程的综合应用例5：已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点， 求 （1）22y x +的最值， （2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。

解：圆0124622=+--+y x y x 即1)2()3(22=-+-y x ，用参数方程表示为θθsin 2cos 3{+=+=y x由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），（1）)sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2222ϕθθθθθ++=++=+++=+y x (其中tan ϕ =1.5) ∴22y x +的最大值为14+2 √13，最小值为14- 2√13 。

(2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ（θ+π4）∴ x+y 的最大值为5+ √2 ，最小值为5 -√2 。

（3）d =√2|4+√2(sinθ+π4)|√2显然当sin （θ+π4）= ±1时，d 取最大值，最小值，分别为1+1-例6： 过点(2,1)的直线被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是_________；截得的最短弦所在的直线方程是__________；例7：若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值为 。

四、反思感悟五、课时作业 一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ D ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（B ）A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（C ） A ．2y x =- B ．2y x =+C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤ 4、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 二、填空题5．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为 −54。

6．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

7．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =__0.5__8、已知)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。

9．曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x 10．直线122()112x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为_√14__三、解答题11.（2012年高考23）.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3).(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2+ |PC| 2+ |PD|2的取值范围。

(23) 解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为(2,)3π、5(2,)6π、4(2,)3π、11(2,)6π. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PA PB PC PD +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围为[]32,52.。