当
则σ(n) 为极小值，所以 当
而
例8. 光照面 ( x ＝ 0 处) 积累 正电荷，背面 ( x ＝ W 处 ) 积累负电荷，体内形成沿 x 方向的电场，阻止扩散 引起的电荷进一步积累。 若光照恒定，体内载流子 分布已达到稳定状态，
试计算当外电路开路时， 硅片正、背面之间产生的 光扩散电势差。
2
分别画出 n 型半导
积累层和耗尽层的能 带图； (2) 开始出现反型层时的 能带图并求出开始出现 反型层的条件；
出现强反型层时的能 带图并求出出现强反型 层的条件。
(3)
解：
以 n 型衬底的理想 MOS 结 构为例回答上面问题。 下图所示为外加偏压 UG ＝ 0 时，半导体表面属 于平带情况的能带图：
当 Ei = Et 时，τ 取极小 值，即复合中心能级与 本征费米能级重合时， 复合中心的复合作用最 强。
推算题
derivation and calculation
例5，试计算 (1) PN 结正向压降每增加 0.06V，正向电流约增加多少 倍？ (2) PN结正向电流增加1倍， 正向电压将增加多少？ (已知：ln 2 = 0.6931；ln 10 = 2.3025 )
因为 Is 是结的反向饱和电 流，可表为
Dp Dn I s Aqni L N Ln N A p D
2
式中各量按通常意义解 释，即 A 为 PN 结的截 面积，Dp,n 为空穴或电子 的扩散系数，Lp,n 为空穴 或电子的扩散长度， ND ， NA 则为施主或受主 浓度， ni 本征载流子浓 度。
解： (1) 利用
得
设正向压降增加 0.06V 时 的正向电流为IF（+） 则
故
求得
已知 ln 10 = 2.3075 故
设正向电流增加 1 倍时结的正向电压为
(2)
UF
（+）
则
例6 两块 n 型硅材料，在 某一温度 T 时，第一块与 第二块的电子密度之比为 n1 ／ n2 = e ( e 是自然对数 的底 )。
反偏时 Schottky 结的能 带如下图
③
nb= m
EF 金 属 qUR EV N 型半导体 qU = (m - s )+ qUR EC EF
Schottky 结外加反向电压 UR 时，结上电压由零偏
时的 UJ0 增大为
（ UJ + UR ）
金属侧的势垒高度还是 nb 不变。
半导体侧的势垒高度相 应由 qUJ0 增高为
SiO2
EFm
EC
EFS Ei
EV 表面出现强反型
出现强反型层的条件是
U S 2U F
例 3 设想图示为金属和 n 型半导体分离时的能 带图：
真空能级
m
EF
金 属
s s
EF
EC
EV
N 型半导体
真空能级
m
EF
金 属
s s
EF
EC
EV
N 型半导体
绘出它们构成肖特基结 后在外加零、正和反偏 情况下相应的能带图， 标出势垒高度、正向电 压或反向电压，并简要 说明载流子运动、结上 电压和流过结的电流。
考虑到二极管施加正向 电压 （ 譬如 ≥0.6V） 时，方 括号中的指数项明显大 于 1 ，故上式可近似改写 为
If
qU f I s exp kT

两边求对数，得
If kT Uf n q Is
上式两边同时对 T 求导， 整理后有
dU f U f kT dIs － .......... .......... 1 ..... I f 常数＝ dT T qIs dT
EC
q（UD - UF）
qUF EC EF EV
EV
结外加正向电压UF 时， 结 上 电 压 由 UD 减 小 为
pn （ UD – UF ）。
结的势垒高度下降为 q （ UD - UF ） 后，流过结的 载流子漂移电流将减少， 载流子的扩散电流将超 过漂移电流，故有净电 流流过 pn 结，势垒区两 侧出现非平衡栽流子积 累。
pn
③ 外加反偏的能带图
EC q（UD + UR） EV qUR EF EC
结上电压由 （UD + UR）,
UD
增大为
EV
结的势垒高度相应由 qUD 增高为 q（UD + UR）。载 流子的漂移电流将超过扩 散电流，pn 结也有净电流 流过，但远比正偏时要小， 称反向饱和漏电流。
pn
例 体
(1)
解：
由小注入寿命公式
已知τ0 = τp = τn 故
可得
先求出使τ 取极大值时 的载流子密度。 由 dτ / d n0 = 0 ，即
得出
把 n0 · 0 = p 则有
ni2
代入上式
即 n0 = ni 时，τ 取极值。
容易验证
也就是样品的电导率 等于本征电导率σ = qni (μp + μn ) 时，寿命τ 取极 大值。
解：① 外加零偏的能带图
EC qUD EC EF
EV
EV
零偏时，整个 pn 结系统 的费米能级统一一致。
区的导带和价带能量比 N 区的导带和价带高 qUD， 即势垒区存在的势垒高度 U 称结的接触电势差， 此时载流子的漂移分量和 扩散分量大小相等，方向 相反，故 pn 结无净电流流 过。
P
D
② 外加正偏的能带图
② 正偏时 Schottky 结的能
带如下图
nb= m
EF 金 属 qU = (m- s ) - qUF EC +qUF
EV N 型半导体
外加正向电压 UF 后， Schottky 结上电压由零偏 时的的 UJ0 下降为
（ UJ – U F ）
金属侧的势垒高度仍为 nb 不变。
但半导体侧的势垒高度 由 qUJ 降为 q（UJ – UF ） 从而使从半导体向金属 注入的电子电流大于金 属向半导体发射的电子 电流，Schottky 结有净电 流流过。
利用
在
中代入
可求出
根据小注入寿命公式， 当τ0 = τp = τn 时，可以讨 论寿命 τ 与复合中心能 级 Et 在禁带中位置的 关系及其物理意义。
首先，利用
容易看出，Ei ≠ Et 时， 无论 Et 在 EV 的上方， 还是在 EC 的下方，它 与 Ei 相距越远，第二 项的数值就越大， 即τ 越大，复合中心的复 合作用越弱。
此即 PN 结正向电压 温度系数表式。
Uf
的
室温（T = 300°K）时 Uf 为 0.6V。硅的能隙 Eg 取 1.2eV 条件下，可得硅 PN 结正 向电压的温度系数为
2m V / C

例 11 利用半导体电阻率 求流过 pn 结的电流中电 子电流和空穴电流之比 解：
可以求出 pn 结从 n 区流入 p 区的电子电流密度为
q（UJ + UR）
导致半导体向金属注入 的电子流远小于金属向 半导体发射的电子流。
结有净电流流 过，即 Schottky 势垒结 的反向饱和漏电流。
Schottky
证明题
proof
例4. 假定τ0 = τp = τn 为不随 样品掺杂密度改变的常数， 试求电导率为何值时，样 品的小讯号寿命取极大值。 证明寿命的极大值为
如果 ns 和 ps 分别表示表 面的电子密度和空穴密度， EiS 表示表面的本征费米 能级，则开始出现反型层 的条件是
nS pS
或
EiS EF
由于
EiS Ei qUS EF Ei qUF
所以
US UF
即出现反型层的条件是 表面势等于费米势。
(3) 开始强反型的能带图：
总复习例题
Examples for General Review
作图题
plotting
例 1 设想图示为 p 型 和 n 型半导体分离时的 能带图：
EC EF EV EV EC EF
P 区能带
N 区能带
请绘出它们构成 pn 结后 在外加零偏、正偏和反偏 情况下相应的能带图。图 内应标出接触电位差、正 向电压或反向电压，并对 载流子运动、结上电压和 流过结的电流作简要的文 字说明。
(1)
SiO2 EC EFS Ei EV
EFm
平带 UG = 0
积累层情况，如下图：
SiO2 EC
EFS
EFm Ei EV
表面积累 UG > 0
耗尽层情况，如下图：
SiO2 EC EFS
Ei EV
EFm
表面耗尽 U < 0
(2) 开始反型的能带图：
SiO2
EFm
EC EFS Ei EV 表面开始反型
n0
0
x
例10, 导出给定电流密度下 正向电压的温度系数。已 知；
Eg ni C1T exp kT
2 3
本征载流子浓度，Eg 能 带间隙，k 布尔兹曼常数 C 与温度 T 无关的常数。
ni
解：根据肖克莱方程
qU f I f I s exp kT 1
x
0
如果电子 - 空穴对的产 生率 G 是与位置无关 的常数，请试求整个样 品中电子密度的稳定分 布 n(x)，并画出曲线。 设样品的长度很长，且 满足小注入条件。
解： 稳定情况下，少子的连 续方程为
两个方程的通解分别为：
式中 A，B，C 和 D 是 四个待定常n(x) 应该有恒定数 值，因此，A = 0，D = 0。
于是
其次，在 x = 0 处 n(x) 应 该连续，即 在 x = 0 处密度的梯度也 应该是连续的，即