m pt 0.53m0 ，利用类氢模型估计：
（1）施主和受主电离能; （2）基态电子轨道半径 r 1
mn 和 m p 思路与解：（1）利用下式求得
1 1 1 2 1 1 2 3.849 ( ) ( ) mn 3 mnl mnt 3m 0.98 0.19 m
1 1 1 2 1 1 2 10 ( ) ( ) mp 3 mpl mpt 3m 0.16 0.53 3m
半导体物理习题
习题1．设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量 EC(k)和价带极大值附近能量EV(k)分别为
2 k 2 2 (k k1 )2 Ec (k ) 3m0 m0 2 k12 32 k 2 Ev (k ) 6m0 m0
m0为电子惯性质量，k1 =π⁄a，a = 0.314 nm。试求： ①禁带宽度； ②导带底电子有效质量； ③价带顶电子有效质量； ④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 解：⑴求禁带宽度即求导带极小值与价带极大值之差。由
②77k时，由（3－46）式得到： Ec－ED＝0.01eV＝0.01×1.6×10-19；T＝77k；
n0＝1017；Nc＝1.365×1018cm-3；
k 1.38 1023 J / K , h 6.625 1034 J s,
1 N D N C E D ln n0 ln 2 2 2k 0T
7．InSb的相对介电常数r=17，电子有效质量mn*=0.015m0
（m0为电子惯性质量）求①施主杂质电离能；②施主的弱束 缚电子基态轨道半径。
解：①利用氢原子基态电子的电离能
m0 q 4 E0 E E1 2 2 13.6eV 8 0 h
可将计算浅施主杂质电离能的类氢模型表示为
* * mn q 4 mn E0 ED 2 2 2 8 r 0 h m0 r2
带入InSb的相关数据mn*=0.015m0和r=17，即得
ED 0.015 13.6 0.012eV 17
②利用氢原子基态电子的轨道半径
0 h2 r0 52.9 1012 m m0 q 2
* n 0 3 3 2
同理：
求77k时的ni：
T' 77 2 N v' ( ) 2 N v ( ) 3.9 1018 5.07 1017 cm3 T 300
3
3
ni ( NcNv) exp(
18
1 2
Eg ) 2k0T
1 17 2
0.761.6 1019 (1.36510 5.0710 ) exp( ) 1.175107 2 1.381023 77
可将浅施主杂质弱束缚电子的基态轨道半径表示为
0 r h2 mo 17 rn r * r0 52.9 1012 =6 10-8m=60nm * mn q 2 mn 0.015
2-8.磷化镓的禁带宽度 Eg 2.26eV ，相对介电常数 r 11.1
m0 为电子的惯性质量， 空穴的有效质量 m 0.86m0 p
E 0.01ev 0.0076ev
c
0.0176ev E D
EF
EC EF EF ED N D N c exp 1 2exp k0T k0T
EF ED n0 1 2exp k0T
EF ED n0 2n0 exp k0T
其中，受主杂质浓度为零，则 N A 0, p A 0 本征激发可忽略（77K时温度较低），p0 0 则电中性方程为：n0 nD ND
n0 ND nD nD
E
EC EF Nc exp k0T
ND EF ED 1 2exp k0T
d 2 EV 6 2 2 dE m0
1 1 d 2 Ev 6 2 2 mnv dk m0 1 1 mnv m0 9.11031 kg 1.52 1031 kg 6 6
⑷价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化由导带极小值和 价带极大值所对应的k值之差决定，即
[解] ①室温下，T=300k（27℃）,k0=1.380×10-23J/K， h=6.625×10-34J· S， 根据（3－18）式：
Nc
* n 0 3 3 2
m0 9.108 1031 kg
2(2 m k T ) h 2 2 Nc 3 1.051025 3 h2 ( ) (6.6251034 ) 2 ( ) * 2 2 mn 5.09681031 Kg 2 k0T 2 3.141.381023 300
因此，施主和受主杂质电离能各为：
ED mn E 1 13.6 0.025(eV ) 2 2 m r 3.849 11.8

。
mp E 3 13.6 EA 0.029(eV ) 2 2 m r 10 11.8
（2）基态电子轨道半径各为：
r1, p r mo rB1 / mp 11.810 0.53/ 3 2.08 109 m
N D N C 2 k0T n0 e 2
1 2 ED
Ec E D 2 0.01 1.6 10－19 2 17 [n0 exp( )] 2 [10 exp( )] 2 2k 0T 2 1.38 10 23 77 ND ＝ ＝6.604 1016 ； Nc 1.365 1018
3－8．（P103）利用题7所给的Nc和Nv数值及Eg＝0.67eV， 求温度为300k和500k时，含施主浓度ND＝5×1015cm-3，受主 浓度NA＝2×109cm-3的锗中电子及空穴浓度为多少？ [解]1) T＝300k时，对于锗：ND＝5×1015cm-3，NA＝2×109cm-3：
8.28 106 （s） ＝ E
当E＝102 V/m时，t＝8.28×10－8（s）；E＝107V/m时，t＝8.28×10－13（s）。
2-1. 半导体硅单晶的介电常数， r 11.8 电子和空穴的有效 质量各为 mnt 0.19m0 mnl 0.98m0 和 m pl 0.16m0 。
P hk (kC 0 kV 0 ) 3 3h k1 4a 8a
带入数据知P=7.9110-25 (kg.m/s)
习题2. 晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加电场分别为102V/m 和107V/m，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
[解] 设电场强度为E， 因为 T
* p 0 3 3 2

求300k时的ni：
1 Eg 0.67 19 18 2 ni ( Nc Nv ) exp( ) 1.0510 3.9 10 exp( ) 1.6231013 2k0T 0.052 1 2


﹟求77k时的Nc和Nv：
2(2 m k T ' ) 3 3 3 N c' T' 2 ' T' 2 77 2 h ( ) ; Nc ( ) Nc ( ) 1.05 1019 1.365 1018 3 Nc T T 300 * 2(2 mn k 0T ) 2 h3
3－7
在77K时锗的电子浓度为 1017 / cm3其 N 1.365 1018 / cm3 c 假定受主浓度（杂质）为零，而 EC ED 0.01eV，求锗
中的施主浓度 N D 为多少？（提示：根据电中性条件求出）
解答：
电中性条件
n0 N A nD p0 ND pA
dEC 2 2 k 2 2 (k k1 ) 0 dk 3m0 m0
知导带在 kC k1
3 4 3 处有其唯一的极小值 4a
( Ec ) min
3 2 ( )2 2 2 3 2 a 4a h ( ) 3m0 4a m0 16m0 a 2
同理，由
Nc h ( )3 * 2 mn 5.09681031 Kg 0.56m0 2 k0T
2
2
根据（3－23）式：
h 2 24 2 2 Nv 3 34 2 3.9 10 h ( ) (6.62510 ) ( )3 2 2 m* 2.6351031 Kg 0.29m0 p 2 k0T 2 3.141.381023 300 Nv 2(2 m k T )
代入数据h=6.62510-34Js，m0=9.10810-31kg， a=0.314nm=3.1410-10m，并利用单位换算1J=0.6251018eV， 最后得
Eg 0.64eV
⑵按电子有效质量的定义，欲求导带底电子的有效质量须首先 求出导带极小值附近E(k)函数二阶导数的值。于是，由
d 2 E C 2 2 2 2 8 2 2 dE 3m0 m0 3m0
得
nc
1 1 d 2 Ec 8 2 mnc dk 2 3m0 3 3 m m0 9.11031 kg 3.411031 kg 8 8
⑶同理，由
可得价带顶电子有效质量：
r1,n r mc rB1 / mn 11.8 3.849 0.53 2.41109 m
rB 式中， 1 是波尔半径。
评析：本题须注意的是硅的导带为多能谷结构，价带有两个， 所以在计算杂质电离能和电子轨道半径时，需考虑电子横向 有效质量和纵向有效质量，重空穴和轻空穴有效质量。
求①受主杂质电离能；②受主所束缚空穴的基态轨道半径。 解：因此，受主杂质电离能为：
0.86m0 13.6eV E A 2 9.49 102 eV m0 r m0 11.12 m p E0
受主所束缚空穴基态轨道半径为：
m0 m0 r1 11.1 0.529 1010 m 6.84 1010 m 0.86m0 m p