12
12 12 15
6
8 7 7 6
V+F-E=2
——笛卡儿-欧拉多面体定理
7 10
8
12
一、 归纳法的概念
归纳法，是指通过特别分析引出普遍的结论 的推理方法。和类比一样，它在数学发现中也具 有十分重要的作用。 在科学认识活动中，归纳法可以理解为用来 概括由观察和实验获得的事实，确立科学认识基 础的客观性，从而探索事物的规律性。即归纳常 常建立在有目的、有计划的观察和实验基础上。 归纳法也是一种或然性推理，其猜想或论断 尽管是符合情理的，但不一定是正确的，还需要 有严格的证明。
引例2：观察如下几个等式： 10=3+7，20=13+7，30=13+17
再如： 6=3+3， 8=3+5，10=3+7=5+5， 12=5+7，14=3+11=7+7
能否有论断：“任何一个大于4的偶数都 是两个奇质数之和”。 ——哥德巴赫猜想 1966年，数学家陈景润证明了“每一个充分 大的偶数都能够表示为一个质数及一个不超过二 个质数的乘积之和”。
二、 归纳法的类型
归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种。 所谓完全归纳法，是根据某类事物中每一个 对象的情况或每一个子类的情况，而作出关于该 类事物的一般性结论的推理。如果它的前提是真 的，那么它的结论也一定是真的。 所谓不完全归纳法，是根据对某类事物中的 一部分对象的情况，而作出关于该类事物的一般 性结论的推理。
S梯
h( a b ) H ( S1 S 0 S 2 ) , V四 棱 台 2 3
在小学数学解题中,类比也有着相当广泛的应用, 具体过程正如波利亚所说的那样“选择一个类似的、 较容易的问题去解决它，以便它可以作为一个模式。 然后利用这个刚刚建立起来的模式，以达到原来问 题的解决。” 例5 6 计 算 1 1 1 1 1 3 7 7 11 11 15 15 19 19 23
本数学书？
• 例4、一批布如果用来做上装可以做180件；如果用 来做裤子可以做220件。如果用来做套装，可以做 多少套？
三、几种常用的类比形式 1、平面与空间的类比 2、数与形的类比 3、解题方法上的类比
1、平面与空间的类比 对照平面中的梯形和立体中的四棱台，可以发 现，梯形的一维元素（边、线段）之间的关系与四 棱台的二维元素（面）之间的关系有许多共同的地 方，但二者的高例外。
• 例 1、
76
2003
25
2003 的末位数字是几？
1 1 1 1 例5 10 试 对 任 意 自 然 数 n， 研 究 2 3 15 35 4n 1
先从n 1,2,3,4的情况着手分析，计算 出前n项的和sn : 1 1 1 2 s1 , s 2 , 3 3 15 5 1 1 1 3 1 1 1 1 4 s3 , s4 3 15 35 7 3 15 35 63 9
n 归纳猜想求和公式为： s n 2n 1
下面用数学归纳法来证明此结论。（略）
S梯
h( a b ) H ( S1 S 0 S 2 ) , V四 棱 台 2 3
பைடு நூலகம்
2、数与形的类比
例5 7 已 知a，b，c， 均 为 正 数 ， 求函数 y x 2 a 2 ( c x )2 b 2 的 极 小 值 。
C
c
A
Ｍ１ M X
a
B
b
D
显然C,D,M三点共线时Ｙ有极小值。
3、解题方法上的类比
仔细观察条件发现它与 一元二次方程ax 2 bx c 0 ( a 0 )的根的判别式b 2 4ac 0类似 ,
例5 8 若( z x )2 4( x y )( y z ) 0,则x , y , z成等差数列。
于是联想到将已知条件 看作是关于 t的二次方程 : ( x y )t 2 ( z x )t ( y z ) 0有等根的条件。
三、归纳法与数学归纳法之间的关系 1、由于数学归纳法所证明的结论是完全可靠的， 因此，和归纳法不同，数学归纳法属于论证的范畴， 而不是猜测的方法。 2、数学归纳法与归纳法之间也存在着相互依赖、 相互渗透的辨证关系。
数学归纳法所证明的结论往往是由归纳法所得 出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些要用数学归 纳法来加以证明。因此，数学归纳法是归纳法的自 然发展。而且，更为重要的是，归纳的过程往往为 应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反 之，证明的过程则加深了对原来猜测的理解。
二、类比法的应用 如，根据算术中分数的基本性质：“分数的分 子和分母同乘以或除以不为零的同一个数，分数的 值不变”。用类比的方法可以推测代数式中分式的 性质：“分式的分子和分母同乘以或除以不为零的 同一个代数式，分式的值不变”。 又如，对照平面中的梯形和立体中的四棱台， 可以发现，梯形的一维元素（边、线段）之间的关 系与四棱台的二维元素（面）之间的关系有许多共 同的地方，但二者的高例外。
不难发现,方程左边各项系数之和为0,故知方程有 两个等根,均为1,于是可利用韦达定理,其两根之积为:
yz 1,即2 y x z x y
故x,y,z成等差数列。
四、正确认识类比法所做出的结论 类比方法是数学发现中一个十分重要的方法。 但它作为一种合理推理的形式所得的结论也只能 是猜想。即类比会引向发现也会导致错误。我们 要从积极的方面去认识它的作用：其思想方法能 促使我们思考，启发与诱导我们去探讨问题。
如
1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
例1、有一盒糖果，只发给小班朋友，平均每人可
得20颗；只发给大班朋友，平均每人可得30颗，
现在要把糖果发给大班和小班小朋友，平均每人
可得几颗？ 例2、李老师为课外兴趣小组买书，他带的钱正好 可买15本语文书或24本数学书，如果李老师先买 了10本语文书后，剩下的买数学书，还可以买几
的引路人”。
——匈牙利数学家波利亚
一、类比法的概念 类比法是根据两个或两类不同的对象，在某些 方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测 这两个对象在其他方面也可能有类同之处，并作出 某种判断的推理方法。 其基本模式为： A具有性质 F1， F2， F3，…… Fn，P Ｂ具有性质 F1， F2， F3，…… Fn， Ｂ具有性质Ｐ
小学数学解题的思想方法
类比推理
归纳法
类比推理
“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可 信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中 它应该是最不容忽视的”。 ——德国天文学家开普 勒 即使在数学里，发现真理的主要工具也是类比。 ——法国数学家拉普拉斯 类比似乎在一切数学发现中有作用，而且在某 些发现中有它最大的作用，它是数学活动中“伟大
归纳法
引例1:为了研究多面体的结构,可以进行这样的观察和 实验:计算以下四面体、六面体、八面体、六棱锥、五棱 柱及四棱台的顶点数（V），棱数（E）及面数（F），并 将结果排列起来。 仔细分析一下这些数据， E F V 不难发现如下的关系： 四面体 4 6 4 六面体 八面体 六棱锥 五棱柱 四棱台 8 6