首页 上页 下页 返回
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
证 因为
( uv ) uv uv.
两边分别求在区间[a，b]上的定积分，得
b
b
b
a (uv)d x a vud x a uvd x,
即
uvb
b
vud x
b
（2） 当 t 从 变化到 时，t单调地从 a变化到 b;
（3） t 在 , 上连续，
则有定积分的换元公式
b
a
f
xd
x
f
t t dt.
首页 上页 下页 返回
证 设 Fx 是 f x 的一个原函数，则
b
a
f
xd
x
F
a
F
b.
根据复合函数的求导法则，有
d F[(t)] d F d x f (x)(t) f [(t)](t)
经济应用数学
2．定积分的分部积分法
定积分的分部积分法 设函数 u ux 与 v vx 在区间 a,b 上有连续的导数，则
b
u( x)v( x) d
a
x
u(x)v(x)
b a
b
v(x)u(x)d x.
a
或简写成
b
udv
a
uv
b a
b
v du.
a
上列公式称为定积分的分部积分公式.
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
4
x2
dx
t2 1 2
32
tdt
0 1 2x
1t
= 1 2
3 1
t2 3
d
t
1 2
1 3
t3
3t
3 1
1 2
27 3
9
1 3
3
22 3
.
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
例2 计算 a a2 x2 d x(a 0). 0
解 令 x a sint, 则 d x a cost d t, 且当 x 0
经济应用数学
（1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？ （2）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴 /h，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总 量是多少？
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
解 （1）设降低到辐射水平需要 t1 小时，此时辐
射水平为R0
的四分之一. 于是，得
1 4
R0
R0e0.004t1 .
解得
t1 500ln 2(h).
（2）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h，
所以在 t 0 时的辐射水平为2.4毫伦琴/h，即R0 2.4. 设泄露出去的放射物总量为W，则有
R(t)
R e0.004t 0
的速度衰减的，其中R是t时刻的辐射水平（单位：mR/h）， R0 是初始（t=0）时的辐射水平，t是时间（单位：h）.
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上页 下页 返回
经济应用数学
填空：
(1) 1 (x3 x)d x 1
0
64
(2) 2 (x2 4)d x 2
3
(3) 1 xex d x 0
1
综合实训
课 外（P）
第1（3）（5）题； 第2（1）（3）题； 第3题。
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
§ 5·3 定积分的计算方法
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
经济应用数学
基础知识
1．定积分的换元积分法;
定积分的换元积分法 设函数 f x 在 a,b 上连
续，令 x t, 且满足： （1） a, b;
应用案例
某国地震引发核泄漏事件
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
案例1（ 放射物的泄漏）环保局近日对一起放射性 碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日， 大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保 局下令当地居民立即撤离这一地区. 已知碘物质放射源 的辐射水平是按
dt
dx dt
因此，有
f
t t dt
F
t
F F F b F a .
所以
b
a
f
x
d
x
f
t
t d t.
首页 上页 下页 返回
例1
4
计算 0
x 2 d x. 1 2x
经济应用数学
解
令
1 2x t,
则 x t2 1, 2
d x t dt,
且
当 x 0 时，t 1; 当 x 4 时，t 3. 于是
(t) u
b
f (u)d u.
a
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
1 t2
例3 求定积分 te 2 dt. 0
解
1 t2 te 2 d t
1
t2
湖南
Hunan
对 外经 济
Foreign Economic
W 500ln 2 2.4e0.004t d t.
贸 易 职0 业 学 院
Relations & Trade College
首页
上页
下页
返回
经济应用数学
2.4 500ln 2 e0.004t d(0.004t)
0.004 0
600e0.004t 500ln 2 0
uvd x.
a
a
a
移项，得
湖南
Hunan
b
uv d
x
uvb
b
vud x.
a
aa
对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Foreign Economic Relations & Trade College
首页
上页
下页
返回
e1
例4 计算 0 ln(1 x) d x.
e1
解 0 ln(1 x) d x
x ln(1 x) e1
e1
x d[ln(1 x)]
0
0
[(e 1) ln e 0] e1 x d x
0 1 x
(e 1) [x ln(1 x)] e1 0
(e 1) (e 2) 1.
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
时，t 0; x a 时，t . 于是 2
a
a2 x2 d x
2
a2 a2 sin2 t a cost d t
0
0
a2
2 cos2 t d t a2
2
1
cos
2t
d
t
0
0
2
a2 2
t
1 2
sin
2t
2 0
1 a2.
4
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
f [(t)](t)d t f [(t)]d[(t)]
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
小结：
1．换元积分法：
b
a
f
xd
x
f
t t dt
2．分部积分法：
b
udv
uv
b
b
vdu
a
aa
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页 上页 下页 返回
经济应用数学
经济应用数学
1 t2 te 2 d t
1 t2
e2
d(
1
t2)
0
0
2
t2
e 2
1
e0
1
e2
1
1e 2.
0
讨论：为什么后面的解法不需要换限？
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院
Hunan Foreign Economic Relations & Trade College
首页 上页 下页 返回
e2
(
1
t
2
)
d
t
0
0
2
1 t2
e2
d(
1
t 2 ).
0
2
1 2
0
eu
du
eu
1 2
0
u
t2 2
e0
1
e 2
1
1e 2.
湖 南 对 外经 济 贸 易 职 业 学 院