整式乘除与因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法，求根公式法,换元法,长除法,除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如:-3ｘ＾2＋x=-x（３x-１））基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

例如:-am+ｂm+ｃｍ=-m(ａ-ｂ-c）;a(x－y）+b（y-x）=a(x－y)－b（ｘ－y）=(x-y)(ａ-b）。

注意:把2a^２+1／2变成2(a^2+１／４)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。

平方差公式:a2-ｂ2=(ａ+b）(a－b）;完全平方公式：a２±2ab+b２=(a±ｂ)2;注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式:a3+ｂ3=(a+b)（ａ2-aｂ＋b2);立方差公式:a３－b３=(a-b)(a2+ab+b2）;完全立方公式：a 3±3a 2b+3ａb 2±b 3＝（a±b) 3．公式:a 3+b 3+c 3 =(a+b+c)（a 2+b ２＋c ２-ab-bc-ｃa)例如：ａ2 ＋4ａｂ+4b 2 =（a+2b) 2。

（３）分解因式技巧1．分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握:①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：(1）找出公因式；（2)提公因式并确定另一个因式:①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

一、知识点总结:1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的 系数为2-,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。

２、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ,项有2a 、ab 2-、x 、1,二次项为2a 、ab 2-,一次项为x ,常数项为1，各项次数分别为2，2，1,0,系数分别为1,－２，1,１，叫二次四项式。

３、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降)幂排列：如:1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x按y 的升幂排列:3223221y y x xy x --++-按y 的降幂排列:1223223-++--x xy y x y5、同底数幂的乘法法则:m n m n a a a +=（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如:235()()()a b a b a b ++=+６、幂的乘方法则:mn n m a a =)(（n m ,都是正整数)幂的乘方，底数不变,指数相乘。

如:10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a)()(==如:23326)4()4(4==７、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。

如:(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m同底数幂相除,底数不变,指数相减。

如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷9、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p aa 1=-（p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如:81)21(233==- 10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘，把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。

如：=•-xy z y x 32321１、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加， 即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]如：)(3)32(2y x y y x x +--12、多项式与多项式相乘的法则;多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如:)6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a 13、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征:左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：))((z y x z y x +--+１4、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意: ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀:首平方,尾平方，加上首尾乘积的２倍。

1５、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++1６、单项式的除法法则:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意:首先确定结果的系数（即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式如:b a m b a 242497÷-17、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。

即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……三、知识点分析：1.同底数幂、幂的运算:a m ·a n =a m+n (m ，n 都是正整数).(ａm )ｎ＝a mn (m ，n 都是正整数).例题1．若6422=-a ，则a= ;若8)3(327-=⨯n ，则n= 例题2.若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

例题3.计算()[]()[]m n x y y x 2322-- 练习1.若32=n a ，则n a 6= .2.设4x =8y －1,且9y =2７ｘ-1,则x-ｙ等于 。

2.积的乘方(a b)ｎ=a ｎb n （n 为正整数)．积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 例题１. 计算：()[]()()[]43p p m n n m m n -⋅-⋅- 3.乘法公式 平方差公式：()()22b a b a b a -=-+完全平方和公式:()2222b ab a b a ++=+ 完全平方差公式：()2222b ab a b a +-=- 例题1． 利用平方差公式计算：20０9×２007-２00８２ 例题2.利用平方差公式计算：22007200720082006-⨯. 3．（a -2b ＋3c －d ）(a ＋2b -3c －d )５． 因式分解：1.提公因式法:式子中有公因式时，先提公因式。

ﻩ例1把2105ax ay by bx -+-分解因式．分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然后从两组分别提出公因式2a 与b -,这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式．解:21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明:用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组，同学不妨一试.ﻩ例2把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．ﻩ分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ﻩ2222()()abc a cd b cd abd =-+-ﻩ()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明:由例3、例４可以看出，分组时运用了加法结合律,而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式,又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2. 公式法：根据平方差和完全平方公式例题1 分解因式22925x y -３.配方法:ﻩ例1分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-ﻩ(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．4．十字相乘法:（1).2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是１；(2） 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和. 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此,2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例1把下列各式因式分解:ﻩ(1） 276x x -+ﻩ (２) 21336x x ++ 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--． (２)3649,4913=⨯+= ﻩ 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.ﻩ例2把下列各式因式分解:(1) 2524x x +-ﻩ ﻩ(２） 2215x x --解:(1) 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=ﻩ 2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ﻩ(2）15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- ﻩ 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+ 说明：此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．ﻩ例3把下列各式因式分解：ﻩ(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++ ﻩ分析：（1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数．ﻩﻩ (2） 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解二次三项式2812a a -+.解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-（2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+- ﻩﻩ(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-(2)．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现,二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯,这里按斜线交叉相乘，再相加,就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例４把下列各式因式分解：ﻩﻩ(１) 21252x x --ﻩ ﻩﻩ(2) 22568x xy y +- 解:(１) 21252(32)(41)x x x x --=-+ ﻩﻩ324 1-⨯(２） 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-ﻩﻩ1 254y y -⨯说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时，为提高速度,可先对有关常数分解，交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号．金云梯教育基础练习题一、填空题：2．(ａ－3)(3－2a)＝___＿＿_＿(3－a)(3－2a ）；1２．若m2-３m+2=（m+a)(m+b)，则a=______，b=＿＿____；1５、当m=__＿_＿_时,x2+2(m-3)x+25是完全平方式．16、分解因式:142-a =__________; 2、分解因式：92-x =_＿＿___________17、分解因式：362-x =_＿_＿＿_＿__。