平面几何难题解答
如图 1，已知∠ABC=90° ，△ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合），连 接 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到线段 AQ，连接 QE 并延长交射线 BC 于点 F． （1）如图 2，当 BP=BA 时，∠EBF= ，猜想∠QFC=
（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段 AB=2
3
，设 BP=x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 关系式．
y 关于 x 的函数
解： （1）∠EBF=30° ； ∠QFC=60° ； （2）∠QFC=60° ． 设 BP＞ √3AB，如图 1 所示． ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60° +∠EAP， ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60° +∠EAP， ∴∠BAP=∠EAQ． 在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ， ∴△ABP≌△AEQ． （SAS） ∴∠AEQ=∠ABP=90° ． ∴∠BEF=180° -∠AEQ-∠AEB=180° -60° -90° =30° ． ∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30° +30° =60° ． （当 BP≤√ 3AB 时，如图 2 情形，不失一般性结论仍然成立） （3）在图 1 中，过点 F 作 FG⊥BE 于点 G． ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE=AB=2√ 3． 由（1）得∠EBF=30° ． 在 Rt△BGF 中，BG= BE/2=√ 3， ∴BF= BG/cos30° =2． ∴EF=2． ∵△ABP≌△AEQ． ∴QE=BP=x， ∴QF=QE+EF=x+2． 过点 Q 作 QH⊥BC，垂足为 H． 在 Rt△QHF 中，y=QH=sin60°×QF=√ 3/2（x+2）（x＞0） ． 即 y 关于 x 的函数关系式是：y= √3/2x+ √3．
ห้องสมุดไป่ตู้