二次函数与几何图形模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC //1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.2、如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC //3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ．(1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．模式3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况 （1）当A ∠为直角时，AB AC ⊥ （2）当B ∠为直角时，BA BC ⊥ （3）当C ∠为直角时，CB CA ⊥5、如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．6：如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．模式4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点p 使得P B A 、、三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况 （1）当A ∠为顶角时，AB AC = （2）当B ∠为顶角时，BA BC = （3）当C ∠为顶角时，CB CA =7：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ． （1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．8、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点B(12，0)和C(0，－6)，对称轴为x＝2．(1)求该抛物线的解析式．(2)点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由．(3)在(2)的结论下，直线x＝1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．模式5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。

（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式。

（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。

（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长。

（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。

模拟题汇编之动点折叠问题1.（本题12分）已知二次函数c bx x y ++=2与x 轴交于A （－1，0）、B （1，0）两点. （1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值. （3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿C O 翻折，得到四边形POP ′C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：将B 、C 两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,∴y=x-3…………1分将B 、C 两点的坐标代入得：⎩⎨⎧-==+303c c b ，解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y .…………………3分（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形.设P 点坐标为（x ，322--x x ）， PP /交CO 于E.若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO .…………………5分 连结PP /则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23∴y =23-.∴322--x x =23- .………………………………6分解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为（2102+，23-）.…………………………9分3.（2012江西模拟）已知抛物线234y x x =-++交y 轴于点A ，交x 轴于点B ,C （点B 在点C 的右侧）.过点A 作垂直于y 轴的直线l. 在位于直线l 下方的抛物线上任取一点P ，过点P 作直线PQ 平行于y 轴交直线l 于点Q .连接AP . （1）写出A ，B ，C 三点的坐标； （2）若点P 位于抛物线的对称轴的右侧：①如果以A ，P ，Q 三点构成的三角形与△AOC 相似，求出点P 的坐标；②若将△APQ 沿AP 对折，点Q 的对应点为点M .是否存在点P ，使得点M 落在x 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4.（2012安庆模拟）在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4，M 、N 分别是底边BC 和腰CD 上的两个动点，当点M 在BC 上运动时，始终保持AM ⊥MN 、NP ⊥BC ． (1)证明：△CNP 为等腰直角三角形；(2)设NP ＝x ，当△ABM ≌△MPN 时，求x 的值；(3)设四边形ABPN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出x 取何值时，四边形ABPN 的面积最大，最大面积是多少．解：（1）过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则四边形ABQD 为平行四边形 DQ=AB=3，BQ=AD=1 ∴QC=DQ △DQC 中∠C=∠QDC =45° ∴Rt △NPC 为等腰Rt △ ………………(4分) （2）∵ABM ≌MPN MP=AB=3, BM=NP ∵△NPC 为等腰Rt △∴PC=NP= x ∴BM=BC －MP －PC=1－x ∴1- x= x ∴ x=21∴当ABM ≌MPN 时，x =21………………(8分) （3）ABPN S 四边形=21(AB+NP ) BP=21(3+ x )(4－x )=－212x +21 x+ 6=－21( x-21)+6.125(11分) ∴当x 取21时，四边形ABPN 面积最大，最大面积为6.125. ………………(14分) 5.（2012宝应模拟）在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，2），点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O ，A 两点），过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF,设OD ＝t. ⑴ 求tan ∠FOB 的值；⑵用含t 的代数式表示△OAB 的面积S ；⑶是否存在点C, 使以B ，E ，F 为顶点的三角形与△OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的B 点的坐标；若不存C DN在，请说明理由．(1)作AH ⊥x 轴于H ，交CF 于P ∵A(2,2) ∴AH=OH=2 ∴∠AOB=45° ∴CD=OD=DE=EF=t ∴1tan 22t FOB t ∠== ……………………3分 (2)∵CF ∥OB ∴△ACF ∽△AOB ∴AP CF AH OB = 即22t tOB-=∴22t OB t =- ∴12(02)22OAB tS OB AH t t∆=⋅=<<- ………………6分 (3)要使△BEF 与△OFE 相似,∵∠FEO=∠FEB=90° ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB= 即:2BE t =或12EB t =① 当2BE t =时, 4BO t =, ∴242t t t=- ∴0t =(舍去)或32t = ∴B(6,0) ……………………8分② 当12EB t =时, (ⅰ) 当B 在E 的右侧时,52OB OE EB t =+=, ∴2522t t t =- ∴0t =(舍去)或65t = ∴B(3,0) …………………10分(ⅱ) 当B 在E 的左侧时,如图，32OB OE EB t =-=, ∴2322t t t =- ∴0t =(舍去)或23t = ∴B(1,0) ……………………12分6.（2012广东预测）（本小题满分12分）如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A . (1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由.解：（1）（4分）设抛物线的解析式为89252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x a y ………………………1分∵抛物线经过)14,8(A ，∴89258142-⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ＝，解得：21=a …………2分∴8925212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y （或225212+-=x x y ） …………………………1分（2）（4分）令0=x 得2=y ，∴)2,0(B ……………………………………1分 令0=y 得0225212=+-x x ，解得11=x 、42=x ………………………2分 ∴)0 , 1(C 、) 0, 4(D …………………………………………………………1分 （3）（4分）结论：BC AC PB PA +≥+ …………………………………1分理由是：①当点C P 与点重合时，有BC AC PB PA +=+ ………………………………1分②当时异于点点C P ，∵直线AC 经过点)14,8(A 、)0,1(C ，∴直线AC 的解析式为22-=x y ………3分 设直线AC 与y 轴相交于点E ，令0=x ，得2-=y ， ∴)2,0(-E ，则)2,0()2,0(B E 与点-关于x 轴对称 ∴EC BC =，连结PE ，则PB PE =， ∴AE EC AC BC AC =+=+， ∵在APE ∆中，有AE PE PA >+∴BC AC AE PE PA PB PA +=>+=+…………………………………1分 综上所得BC AC BP AP +≥+………………………………………………1分 7.．如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A (－2，－1)，B (0,7)两点．(第24题图)(1)求该抛物线的解析式及对称轴； (2)当x 为何值时，y ＞0?(3)在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C 、D 两点(点C 在对称轴的左侧)，过点C 、D 作x 轴的垂线，垂足分别为F 、E .当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．解：解：(1)把A (－2，－1)，B (0,7)两点的坐标代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －4－2b ＋c ＝－1c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝7. 所以，该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋7，又因为y ＝－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8，所以对称轴为直线x ＝1. (2)当函数值y ＝0时，－x 2＋2x ＋7＝0的解为x ＝1±2 2，结合图象，容易知道1－2 2<x <1＋2 2时，y >0. (3)当矩形CDEF 为正方形时，设C 点的坐标为(m ，n )， 则n ＝－m 2＋2m ＋7，即CF ＝－m 2＋2m ＋7. 因为C 、D 两点的纵坐标相等， 所以C 、D 两点关于对称轴x ＝1对称， 设点D 的横坐标为p ，则1－m ＝p －1， 所以p ＝2－m ，所以CD ＝(2－m )－m ＝2－2m . 因为CD ＝CF ，所以2－2m ＝－m 2＋2m ＋7， 整理，得m 2－4m －5＝0，解得m ＝－1或5. 因为点C 在对称轴的左侧，所以m 只能取－1. 当m ＝－1时，n ＝－m 2＋2m ＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4. 于是，点C 的坐标为(－1,4)．8.如图，在△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点Q 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。