二次函数的动点问题1.如图①,正方形ABCD 的顶点A B ,的坐标分别为()()01084,,,,顶点C D ,在第一象限.点P 从点A 出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q 从点()40E ,出发,沿x 轴正方向以相同速度运动.当点P 到达点C 时,P Q ,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒.(1)求正方形ABCD 的边长.(2)当点P 在AB 边上运动时,OPQ △的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示),求P Q ,两点的运动速度.(3)求(2)中面积S (平方单位)与时间t (秒)的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.(4)若点P Q ,保持(2)中的速度不变,则点P 沿着AB 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大;沿着BC 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小.当点P 沿着这两边运动时,使90OPQ =∠的点P 有 个.(抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.[解] (1)作BF y ⊥轴于F .()()01084A B ,,,,86FB FA ∴==,. 10AB ∴=.(2)由图②可知,点P 从点A 运动到点B 用了10秒. 又1010101AB =÷=,.P Q ∴,两点的运动速度均为每秒1个单位.(3)方法一:作PG y ⊥轴于G ,则PG BF ∥.GA AP FA AB ∴=,即610GA t=.35GA t ∴=.3105OG t ∴=-.4OQ t =+,()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭.即231920105S t t =-++. 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤, ∴当193t =时,S 有最大值. 此时4763311051555GP t OG t ===-=,, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭,.(8分)方法二:当5t =时,1637922OG OQ S OG OQ ====,,. 设所求函数关系式为220S at bt =++.抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,,1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩,31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩, 231920105S t t ∴=-++. 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤,∴当193t =时,S 有最大值. 此时7631155GP OG ==,, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭,.(4)2.[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。
.2. 如图①,Rt ABC △中,90B ∠=,30CAB ∠=.它的顶点A 的坐标为(100),,顶点B 的坐标为(5,10AB =,点P 从点A 出发,沿A BC →→的方向匀速运动,同时点Q 从点(02)D ,出发,沿y 轴正方向以相同速度运动,当点P 到达点C 时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒. (1)求BAO ∠的度数.(2)当点P 在AB 上运动时,OPQ △的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点P 的运动速度.(3)求(2)中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标. (4)如果点P Q ,保持(2)中的速度不变,那么点P 沿AB 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大;沿着BC 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小,当点P 沿这两边运动时,使90OPQ ∠=的点P 有几个?请说明理由.解: (1)60BAO =∠.(2)点P 的运动速度为2个单位/秒.(3)(10)P t -(05t ≤≤)1(22)(10)2S t t =+-2912124t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∴当92t =时,S 有最大值为1214,此时112P ⎛⎝⎭. (4)当点P 沿这两边运动时,90OPQ =∠的点P 有2个.①当点P 与点A 重合时,90OPQ <∠,当点P 运动到与点B 重合时,OQ 的长是12单位长度,作90OPM =∠交y 轴于点M ,作PH y ⊥轴于点H ,由OPH OPM △∽△得:11.5OM ==, 所以OQ OM >,从而90OPQ >∠.所以当点P 在AB 边上运动时,90OPQ =∠的点P 有1个.②同理当点P 在BC 边上运动时,可算得1217.8OQ =+=.而构成直角时交y 轴于03⎛ ⎝⎭,20.217.8=>, 所以90OCQ <∠,从而90OPQ =∠的点P 也有1个.所以当点P 沿这两边运动时,90OPQ =∠的点P 有2个.3. (本题满分14分)如图12,直线434+-=x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . (1)求该二次函数的关系式;(2)设该二次函数的图象的顶点为M ,求四边形AOCM 的面积; (3)有两动点D 、E 同时从点O 出发,其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动,点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动,当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时,ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在DE ∥OC ,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由;②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ③设0S 是②中函数S 的最大值,那么0S = .解:(1)令0=x ,则4=y ;令0=y 则3=x .∴()30A ,.()04C ,∵二次函数的图象过点()04C ,, ∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y又∵该函数图象过点()30A ,.()10B -,∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩,.解之,得34-=a ,38=b . ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y (2)∵438342++-=x x y =()3161342+--x ∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫ ⎪⎝⎭,过点M 作MF x ⊥轴于F∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 (3)①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ,则点D ,E 应分别在线段OA ,CA 上,此时12t <<,在Rt AOC △中,5AC =.设点E 的坐标为()11x y ,∴54431-=t x ,∴512121-=t x ∵DE OC ∥, ∴t t 2351212=- ∴38=t∵38=t >2,不满足12t <<. ∴不存在DE OC ∥.②根据题意得D ,E 两点相遇的时间为1124423543=+++(秒) 现分情况讨论如下: ⅰ)当01t <≤时,2134322S t t t =⨯=; ⅱ)当12t <≤时,设点E 的坐标为()22x y ,∴()544542--=t y ,∴516362ty -= ∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=ⅲ)当2 <t <1124时,设点E 的坐标为()33x y ,,类似ⅱ可得516363ty -= 设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y , ∴51264-=t y ∴AOE AOD S S S =-△△512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S47.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴,且与y 轴的交点在x 轴上方.(1)求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点,过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ,再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ,过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ,得到矩形ABCD .设矩形ABCD 的周长为l ,点A 的横坐标为x ,试求l 关于x 的函数关系式;(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD 能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.参考资料:抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,,对称轴是直线2bx a=-. 解:(1)据题意得:240k -=,2k ∴=±.当2k =时,2220k -=>.当2k =-时,2260k -=-<.又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,2k ∴=.∴抛物线的解析式为:22y x =-+.函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可)(2)解:令220x -+=,得x =不0x <<112A D x =,2112A B x =-+,211112()244l A B A D x x ∴=+=-++.当x >222A D x =,2222(2)2A B x x =--+=-. 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-.l ∴关于x 的函数关系是:当0x <<2244l x x =-++;当x >2244l x x =+-.(3)解法一:当0x <<1111A B A D =,得2220x x +-=.解得1x =-(舍),或1x =-+将1x =-+2244l x x =-++,得8l =.当x >2222A B A D =,得2220x x --=.解得1x =,或1x =+将1x =+2244l x x =+-,得8l =.综上,矩形ABCD 能成为正方形,且当1x =时正方形的周长为8;当1x =时,正方形的周长为8+.解法二:当0x <<1x =-∴正方形的周长11488l A D x ===.当x >1x =∴正方形的周长22488l A D x ===.综上,矩形ABCD 能成为正方形,且当1x =时正方形的周长为8;当1x =时,正方形的周长为8+.解法三:点A 在y 轴右侧的抛物线上,0x ∴>,且点A 的坐标为2(2)x x -+,. 令AB AD =,则222x x -+=.∴222x x -+=,①或222x x-+=-②由①解得1x =-,或1x =-+由②解得1x =,或1x =+ 又8l x =,∴当1x =-+8l =;当1x =+8l =.综上,矩形ABCD 能成为正方形,且当1x =时正方形的周长为8;当1x =时,正方形的周长为8+.5.已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB <OC )是方程x 2-10x +16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x =-2.(1)求A 、B 、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式;(3)连接AC 、BC ,若点E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE ,设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;(4)在(3)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.解:(1)解方程x 2-10x +16=0得x 1=2,x 2=8∵点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,且OB <OC ∴点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8) 又∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为(-6,0) (2)∵点C (0,8)在抛物线y =ax 2+bx +c 的图象上 ∴c =8,将A (-6,0)、B (2,0)代入表达式,得⎩⎨⎧0=36a -6b +80=4a +2b +8 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-23b =-83∴所求抛物线的表达式为y =-23x 2-83x +8(3)依题意,AE =m ,则BE =8-m , ∵OA =6,OC =8,∴AC =10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC∴EF AC =BE AB 即EF 10=8-m8∴EF =40-5m 4过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,则sin ∠FEG =sin ∠CAB =45∴FG EF =45 ∴FG =45·40-5m 4=8-m ∴S =S △BCE -S △BFE =12(8-m )×8-12(8-m )(8-m )=12(8-m )(8-8+m )=12(8-m )m =-12m 2+4m 自变量m 的取值范围是0<m <8 (4)存在.理由:∵S =-12m 2+4m =-12(m -4)2+8 且-12<0,∴当m =4时,S 有最大值,S 最大值=8 ∵m =4,∴点E 的坐标为(-2,0) ∴△BCE 为等腰三角形.6.(14分)如图:抛物线经过A (-3,0)、B (0,4)、C (4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式.(2)已知AD = AB (D 在线段AC 上),有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动,经过t 秒的移动,线段PQ 被BD 垂直平分,求t 的值;(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由。