单像空间后方交会(遥感07-1、2学生适用)测绘学院 王双亭1 概述1.1 定义利用一定数量的地面控制点和对应像点坐标求解单张像片外方位元素的方法称为空间后方交会。

1.2 所需控制点个数与分布共线条件方程的一般形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+--+-+--=--+-+--+-+--=-)()()()()()()()()()()()(33322203331110S S S S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X X a f y y Z Z c Y Y b X X a Z Z c Y Y b X Xa f x x （1）式中包含有六个外方位元素，即κωϕ、、、、、S S S Z Y X ，只有确定了这六个外方位元素的值，才能利用共线条件方程真正确定一张像片的任一像点与对应地面点的坐标关系。

个数：对任一控制点，我们已知其地面坐标)(i i i Z Y X 、、和对应像点坐标)(i i y x 、，代入共线条件方程可以列出两个方程式，因此，只少需要3个控制点才能解算出六个外方位元素。

在实际应用中，为了避免粗差，应有多余检查点，因此，一般需要4～6个控制点。

分布：为了最有效地控制整张像片，控制点应均匀分布于像片边缘，如下图所示。

由于共线条件方程是非线性的，直接答解十分困难，所以首先将共线方程改化为线性形式，然后再答解最为简单的线性方程组。

分布合理 分布合理 分布不合理2 空间后方交会的基本思路2.1 共线条件方程线性化的基本思路在共线条件方程中，令)()()()()()()()()(333222111S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z Z c Y Y b X X a Y Z Z c Y Y b X X a X -+-+-=-+-+-=-+-+-= （2） 则共线方程变为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-ZY fy y Z Xf x x 00 （3） 对上式两侧同乘Z ，并移至方程同侧，则有⎩⎨⎧=-+=-+0)(0)(00Z y y Y f Z x x X f （4） 令⎩⎨⎧-+=-+=Zy y Y f Fy Zx x X f Fx )()(00 （5） 由于上式是共线方程的变形，因此，Fy Fx 、是κωϕ、、、、、S S S Z Y X 的函数。

对Fy Fx 、分别按泰劳级数展开，并且只保留一次项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=κκωωϕϕκκωωϕϕFyFy Fy Z Z Fy Y Y Fy X X Fy Fy Fy Fx Fx Fx Z Z Fx Y Y Fx X X Fx Fx Fx S S S S S S S SS S S S 00)()(（6） 式中，0)(Fx 、0)(Fy 分别是Fx 和Fy 的初值；•∂∂Fx 、•∂∂Fy分别是Fx 和Fy 对各个外方位元素的偏导数；κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 分别是κωϕ、、、、、S S S Z Y X 初值的增量。

为了明确（6）式中常数项的意义，对（6）式两侧同乘以Z1-，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+-=-∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+∆∂∂-+-=-κκωωϕϕκκωωϕϕFy Z Fy Z Fy Z Z Z FyZ Y Y Fy Z X X Fy Z Fy Z Fy Z Fx Z Fx Z Fx Z Z Z Fx Z Y Y Fx Z X X Fx Z Fx Z Fx Z SSS S S S S S S S S S )1()1()1()1()1()1()(11)1()1()1()1()1()1()(1100（7） 考查（7）式中的常数项，有)()]()[()]()[(])([1)(100000计计＝－x x x x x x Z Xf x x Z x x X f Z Fx Z -----=----=-+-=-（8）式中x 是像点坐标的观测值；计x 是由相应地面坐标和外方位元素初值计算出的像点坐标。

这样（7）式中的常数项就有明确的意义，即为像点观测值和计算值之差。

同样也可以得到，)()]()[()]()[(])([1)(100000计计＝－y y y y y y Z Y f y y Z y y Y f Z Fy Z -----=----=-+-=-（9）现将（7）式改写为⎩⎨⎧-∆+∆+∆+∆+∆+∆=-∆+∆+∆+∆+∆+∆=y S S S yxS S S x l a a a Z a Y a X a v l a a a Z a Y a X a v κωϕκωϕ262524232221161514131211 （10） 式中，y x v v 、为残差；ij a 为系数；κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 是待求值，y x l l 、是像点观测值和计算值之差。

与（7）式相比较，显然有计＝＝＝＝x x l Fx Z a Fx Z a Fx Z a Fx Z a Fx Z a X Fx Z a x S S S -=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-=κωϕ111Z 1Y 11615141312111 计＝＝＝＝y y l FyZ a FyZ a FyZ a Fy Z a FyZ a X FyZ a y S S S -=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-=κωϕ111Z 1Y 11262524232212 （10a ） 式（10）就是以外方位元素增量为待求值的共线条件方程线性化公式，也称误差方程式。

要得到完整的线性化形式，关键是求各个系数ij a ，而求ij a 的关键是求出Fy Fx 、对各个外方位元素的偏导数。

如何求偏导数，将在共线方程线性化部分介绍。

2.2 答解外方位元素的基本过程每个控制点都可以按（10）式列出两个误差方程式，n 个控制点可列出2n 个方程，用矩阵形式可表示为：L AX V -= （11）式中[]Tny n x y x yxv v v v v v 2211=V ；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 261622122111226216222212221211126116122112121111A ； []TSSS Z Y X κωϕ∆∆∆∆∆∆=X ；[]Tn y nxy xy xl l l l l l 2211=L 。

如果能答解这2n 个方程构成的方程组，则可得到外方位元素的增量。

具体的求解过程应是一个迭代过程：（1）给出外方位元素的初值，0000κωϕ、、、、、S S S Z Y X ；（2）对每个控制点计算误差方程式系数ij a 和y x l l 、，从而按（10）式组成误差方程式； （3）答解线性方程组，得到每个外方位元素的增量κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X ；（4）将增量和初值相加，得到新的外方位元素值；（5）各个增量是否小于规定的限差？若是，则停止迭代运算；若不是，则将新外方位元素值作为初值重复（2）～（5）。

2.3 误差方程组的答解方法（最小二乘原理）式（11）是一个由2n 个方程组成的误差方程组，且方程个数多于待求值的个数，对这样的方程组应如何答解呢？在摄影测量中一般按最小二乘原理进行答解。

按最小二乘原理，求出的待求参数的最佳估计值应使各误差方程式的残差平方和为最小，即满足min =V V T （12）这样就转化为V V T对待求值的求极值问题。

下面以式（11）为例，说明求极值后误差方程式的变化。

将VV T 分别对κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 求极值，即令00000=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂=∆∂∂κωϕV V V V V V V V V V V V T T T S T S T S T Z Y X （13） 这样将得到六个新的线性方程式，方程式的个数与待求值的个数相同。

解这个方程组，则可得到κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 的最佳估计值。

在测量平差中把由式（11）变为式（13）的过程称为误差方程式的法化，法化后的方程式称为法方程式。

显然，法方程式的系数和常数项将与误差方程式不同。

究竟法方程式的系数、常数项和原误差方程式有什么变化，又有什么关系呢？这可以通过较复杂的推导过程来找到。

在这里，我们略去推导过程，只按矩阵方式给出结论。

由于L L L A X AX A X L AX L AX V V T T T T T T T +-=--=2)()(则022=-=∂∂L A AX A XVV T T T 整理后有L A AX A T T =令A A N T= 即为法方程式的系数阵。

两边同乘以1-N ，则可求出X ，即L A N X T 1-= （14）该式即为κωϕ∆∆∆∆∆∆、、、、、S S S Z Y X 的解。

3 共线条件方程的线性化在“共线条件方程线性化的基本思路”中，我们知道：共线条件方程线性化的关健是求各个偏导数（•∂∂Fx 和•∂∂Fy），下面我们分别求取线元素和角元素的偏导数。

3.1 线元素的偏导数已知⎩⎨⎧-+=-+=Z y y Y f Fy Zx x X f Fx )()(00 和 )()()()()()()()()(333222111S S S S S S S S S Z Z c Y Y b X X a Z Z Z c Y Y b X X a Y Z Z c Y Y b X X a X -+-+-=-+-+-=-+-+-= 则)()()()()()()()()()()()(032003200320031003100310y y c f c Z Zy y Z Y f Z Fy y y b f b Y Zy y Y Y f Y Fy y y a f a X Zy y X Y f X Fy x x c f c Z Zx x Z X f Z Fx x x b f b Y Zx x Y X f Y Fx x x a f a X Zx x X X f X Fx SS S S S S S S S S S S S S S S S S ---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂---=∂∂-+∂∂=∂∂ （15）如果把内方位元素也作为未知数进行答解，则Z x Fx -=∂∂0 00=∂∂y Fx X f Fx =∂∂ 00=∂∂x Fy Z y Fy -=∂∂0 Y fFy=∂∂3.2 角元素的偏导数Fx 和Fy 是角元素κωϕ、、的复合函数，为了推导的方便，我们将对角元素求导数的过程分为三个步骤。