高考物理典型方法及专题：15、与弹簧有关的物理问题1．一个劲度系数为K=800N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m=12kg 物体A 和B ，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图所示。

施加一竖直向上的变力F 在物体A 上，使物体A 从静止开始向上做匀加速运动，当t=0.4s 时物体B 刚离开地面（设整个匀加速过程弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s 2）.求：（1）此过程中物体A 的加速度的大小。

（2）此过程中所加外力F 所做的功。

2．用一根轻质弹簧悬吊一物体A ，弹簧伸长了L ，现该弹簧一端固定在墙上，另一端系一三棱体，先将弹簧压缩,4L然后将物体A 从三棱体的斜面上由静止释放，则当A 下滑过程中三棱体保持静止。

若水平地面光滑，三棱体斜面与水平地面成30°角，如图所示。

求： （1）物块A 的下滑加速度a ；（2）物块A 与斜面之间的动摩擦因数μ。

3．如图所示，将质量为g m A 100=的平台A 连结在劲度系数m N k /200=的弹簧上端，弹簧下端固定在地上，形成竖直方向的弹簧振子，在A 的上方放置A B m m =的物块B ，使A 、B 一起上下振动，弹簧原子为5cm.A 的厚度可忽略不计，g 取10./2s m 求： （1）当系统做小振幅简谐振动时，A 的平衡位置离地面C 多高？（2）当振幅为0.5cm 时，B 对A 的最大压力有多大？（3）为使B 在振动中始终与A 接触，振幅不能超过多大？4．如图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A 连接在一起，下端固定在地面上。

盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B 恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=400N/m ，A 和B 的质量均为2kg 。

将A 向上提高，使弹簧从自由长度伸长10cm 后，从静止释放，不计阻力，A 和B 一起做竖直方向的简揩振动，g 取。

已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小。

试求： （1）盒子A 的振幅； （2）小球B 的最大速度。

2s /m 105．如图所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为和的木块相连，竖直放置在水平地面上．问至少要向下压多大的力F 于上，才可以使突然撤去外力F 后恰好离开地面? 6．如图所示，质量分别为m 和M 的A 、B 两重物用劲度系数为k 的轻质弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。

当重物A 下降距离h 时，重物B 刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B 不离开地面（B 与地面作完全非弹性碰撞）但不粘连。

为使重物A 反弹时能将重物B 提离地面，试问下落高度h 至少应为多少？（提示：弹簧形变量为x 时的弹性势能为E P =221kx ）7.如图所示，光滑轨道上，小车A 、B 用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A 、B 上.然后使A 、B 以速度v 0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A 的速度刚好为0，已知A 、B 的质量分别为m A 、m B ，且m A <m B.求：1m 2m 1m 2m（1）被压缩的弹簧具有的弹性势能E p .（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B 有无速度为0的时刻？8．如图所示，光滑水平面上放有A 、B 、C 三个物块，其质量分别为m A =2.0gk ，m B =m C =1.0kg ，用一轻弹簧连接A 、B 两物块，现用力压缩弹簧使三物块靠近，此过程外力做功72J ，然后释放，求：（1）释放后物块B 对物块C 一共做了多少功？（2）弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能为多大？9．如图所示，半径分别为R 和r （R>r ）的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，在水平轨道CD 上一轻弹簧a 、b 被两小球夹住，同时释放两小球，a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求： （1）两小球的质量比.（2）若m m m b a ==，要求a b 都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能。

10．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，将一个质量为m 的物体轻轻放在弹簧上，当弹簧被压缩了b 时（在弹性限度内）物块刚好速度为零，若换一个质量为3m 的物块轻轻放在弹簧上，则当弹簧也被压缩了b 时 （1）此时质量为3m 的物块加速度？ （2）此时质量为3m 的物块速度？专题十五答案1.解：（1）开始时弹簧被压缩X 1，对A ：KX 1=m A g ①B 刚要离开地面时弹簧伸长X 2，对B ：KX 2=m B g ② 又m A =m B =m 代入①②得：X 1=X 2整个过程A 上升：S=X 1+X 2=2mg/K=0.3m根据运动学公式：221at S = 物体A 的加速度：)/(75.3222s m ts a ==（2）设A 末速度为V t 则由：t V V S t 20+=得：)/(5.12s m tSV t == ∵X 1=X 2 ∴此过程初、末位置弹簧的弹性势能不变，弹簧的弹力做功为零。

设此过程中所加外力F 做功为W ，根据动能定理：221t mV mgs W =- )(5.49212J mV mgs W t =+=2.解：（1）当弹簧竖直悬挂物体时：KL=mg ①在A 从三棱体上下滑时，对A 和三棱体组成的系统，在水平方向上。

应用牛顿规律：ο30cos 4ma LK =⋅②由①、②可得g g a 6330cos 4==ο（2）对物块A ：ma mg mg =-οο30cos 30sin μ ③ οο30cos 30tan g a-=μ244.0313=-=3.解：（1）振幅很小时，A 、B 间不会分离，将A 和B 整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得g m m kx B A )(0+=得形变量cm m m k g m m x B A 101.020010)1.01.0()(0==⨯+=+=平衡位置距地面高度cm cm x l h 4)15(00=-=-=（2）当A 、B 运动到最低点，有向上的最大加速度，此时A 、B 间相互作用力最大，设振幅为A最大加速度220/5/1.01.0005.0200)()(s m s m m m kA m m g m m x A k a B A B A B A m =⨯⨯=+=++-+=取B 为研究对象，有m B B a m g m N =-得A 、B 间相互作用力N N a g m a m g m N m B m B B 5.1)510(1.0)(=+⨯=+=+=由牛顿第三定律知，B 对A 的最大压力大小为N N N 5.1=='（1分） （3）为使B 在振动中始终与A 接触，在最高点时相互作用力应满足：0≥N取B 为研究对象，a m N g m B B =-，当N=0时，B 振动的加速度达到最大值，且最大值2/10s m g a m=='（方向竖直向下） 因g a a mB mA ='='，表明A 、B 仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长cm x A 10==' 振幅不能大于1cm4.解：（1）系统处于平衡位置时，弹簧压缩，则盒子的振幅为（2）B 运动到平衡位置时速度最大，从最高点到平衡位置的过程中，弹力做的正功与负功相等，总功为零由动能定理：5.解：恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长，且和速度为零．(1) 应用简谐振动的对称性求解：不离开地面，做简谐振动，则振幅：加压力F 时(2)应用动能定理求解：对撤去力F 至恰好离开地面全过程作用由动能定理得：① 加压力F 时 ② 由①②解得：6.解：B 触地时，弹簧为原长，A 的速度为：gh v 2=A 压缩弹簧，后被向上弹起弹簧又恢复原长时，因机械守恒，可知A 的速度仍为：gh V 2=A 继续向上运动拉伸弹簧，设法V A =0时弹簧伸长量为x ，则要使此时B 能被提前离地面，应有：kx=Mg1x ∆1x k mg 2∆=m 10.04001022k mg 2x 1=⨯⨯==∆m20.010.010.0x x A 21=+=∆+∆=2m k v m 221E 0mgA 2⋅⋅=∆=+s /m 220.0102gA 2v m =⨯⨯==∴2m 2x g m kx 22=1m 2m 1m 0221x x x x A +=-=k gm k g m x x X 1202122+=+=11kx g m F =+g )(2111m m g m kx F +=-=2m 02020)(2211211=+-+++-x kx x kx x x g m 022)(2221211=-++-x k x k x x g m 11kx g m F =+g m m F )(21+=而在此弹簧被拉伸的过程对A 和弹簧有：222121kx mgx mV +=由上几式可解得：mm M K Mg h 22+⋅=7.解：（1）设弹簧第一次恢复自然长度时B 的速度为 v B以A 、B 弹簧为系统动量守恒（m A +m B ）v 0=m B v B ①机械能守恒：（m A +m B ）v 02+E p =m B v B 2②由①、②解出E p =③（2）设以后运动过程中B 的速度为0时，A 的速度为v A ，此时弹簧的弹性势能为E p ′，用动量守恒（m A +m B ）v 0=m A v A ④机械能守恒（m A +m B ）v 2+E p =m A v A 2+ E p ′⑤由④、⑤解出⑥因为m A ＜m B 所以E p ′＜0弹性势能小于0是不可能的，所以B 的速度没有等于0的时刻8.解：（1）释放后，在弹簧恢复原长的过程中B 和C 和一起向左运动，当弹簧恢复原长后B 和C 的分离，所以此过程B 对C 做功。

选取A 、B 、C 为一个系统，在弹簧恢复原长的过程中动量守恒（取向右为正向）：0)(=+-C C B A A v m m v m ①系统能量守恒：J W v m m v m C C B A A 72)(212122==++ ② ∴B 对C 做的功：221C C v m W =' ③ （2分） 联立①②③并代入数据得：J W 18='（2）B 和C 分离后，选取A 、B 为一个系统，当弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大，此时A 、B 具有共同速度v ，取向右为正向,由动量守恒：)()(C B B A B B A A v v vm m v m v m =+=-④弹簧的最大弹性势能：222)(212121v m m v m v m E B A B B A A P +-+=⑤ 联立①②④⑤并代入数据得：E p =48J9.解.（1）a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为gR v a =' ① gr v b =' ②由动量守恒定律b b a a v m v m =③机械能守恒定律R g m v m v m a a a a a 221212+'= ④ r g m v m v m b b b b b 221212+'= ⑤联立①②③④⑤得 Rr v v m m ab ba ==（2）若m m m b a ==，由动量守恒定律得v v v b a ==当a 球恰好能通过圆轨道的最高点时，E 弹最小， mgR R mg mgR E 52)221(=⨯+=弹10.解：（1）设每个小球质量为m ，以1u 、2u 分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度. 由动量守恒和能量守恒定律有 021mu mu mu =+（以向右为速度正方向） 202221212121mu mu mu =+ 解得021201,00,u u u u u u ====或由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：021,0u u u ==（2）以1v 、'1v 分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，011='+mv mv021212121E v m mv ='+ 解得.,,01010101mE v m E v m E v m E v ='-=-='=或在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解：mE v mE v 0101,='-= 振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为1v ，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为10v ，根据动量守恒定律：1102mv mv =用E 1表示最大弹性势能，由能量守恒有211210210212121mv E mv mv =++解得0141E E =11.解.设托盘上放上质量为m 的物体时，弹簧的压缩量为x ，则mg=kx ①由全电路欧姆定律知：rR R EI ++=0②（4分）由部分电路欧姆定律知：U=I ·R ′=I ·LRx ③ 联立①②③求解得：U RgEr R R kL m )(0++=④。