不等式块1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和）jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和）1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立.2．应用排序不等式可证明“平均不等式”：设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是n n n nn a a a G na a a A 2121=+++=和此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到nn a a a nH 11121+++=，和平方平均（在统计学及误差分析中用到）na a a Q nn 22221+++=这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则).)(()(222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，则.21212211nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++例题讲解1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cb a abc c b a ++≥3．：.222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，求证：.32131211223221na a a a n n ++++≤++++ .5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a7．利用排序不等式证明n n A G ≤8．证明：对于任意正整数R ，有.)111()11(1+++<+n n n n9．n 为正整数，证明：.)1(131211]1)1[(111----<++++<-+n nn n n nn n例题答案：1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1..1)()()()(3333333333232323≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a cb a ca cb b a ccbbaacbaabc c b a评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>na naai a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121na a a n na a a +++（3）本题还可用其他方法得证。

因abbab a b a ≥，同理c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,，另cbacbac b a c b a ≥，4式相乘即得证.（4）设.lg lg lg ,0c b a c b a ≥≥≥≥≥则例3等价于,lg lg lg lg a b b a b b a a +≥+类似例4可证.lg lg lg lg lg lg lg lg lg a c b b c a a c c b b a c c b b a a ++≥++≥++事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则n n b a b a b a +++ 2211（顺序和）n j n j j b a b a b a +++≥ 2121（乱序和）1111b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如c c b b a a a c c b b a c b a R c b a ⋅+⋅+⋅⇔++≥++∈+222222333,,,时cc b b a a a c c b b a c b a a c c b b a a c c b b a 111111;222222222222⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅⇔++≥++⋅+⋅+⋅≥.3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.不妨设a b c c b a c b a 111,,222≥≥≥≥≥≥则，则bc a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和），同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abac bc c b a 111333≥≥≥≥及，仿上可证第二个不等式. 4.分析：不等式右边各项221ia i a i i ⋅=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 设n n a a ab b b ,,,,,,2121 是的重新排列，满足n b b b <<< 21， 又.131211222n>>>>所以223221232213232nb b b b n a a a a n n ++++≥++++.由于n b b b ,,21是互不相同的正整数，故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n nb b b b n 121132223221+++≥++++ ，原式得证. 评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22a b b a b a ⋅+⋅≥+.3222333abc ab c ac b bc a ca c bc b ab a a c c b b a c b a =⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅≥++5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法.ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221，可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各种变式 如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 6. 思路分析：不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数81，如何也转化为a 、b 的4次式呢. 要证,8144≥+b a 即证.)(81444b a b a +≥+评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知,0,1321≥=++i x x x x 求证：3231x x +.3133≥+x 右侧的31可理解为.)(313321x x x ++再如已知0321=++x x x ，求证：3221x x x x + +013≤x x ，此处可以把0理解为2321)(83x x x ++，当然本题另有简使证法.（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n 个正数),,21n a a a调和平均nn a a a nH 11121+++=几何平均n n n a a a G 21⋅= 算术平均na a a A nn +++=21平方平均222221nn a a a Q +++=这四个平均值有以下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，其中等号当且仅当n a a a === 21时成立.7. 证明: 令),,2,1(,n i G a b nii ==则121=n b b b ，故可取0,,21>n x x x ，使得 111322211,,,,x x b x x b x xb x x b n n n n n ====-- 由排序不等式有：n b b b +++ 21=13221x x x x x x n +++ （乱序和）nn x x x x x x 1112211⋅++⋅+⋅≥ （逆序和） =n ，.,2121n n n n n n G na a a n G a G a G a ≥+++≥+++∴即 评述:对na a a 1,,1,121 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，n n A G ≤. 8. 分析:原不等式等价于111)11(1++<++n n n n ，故可设法使其左边转化为n 个数的几何平均，而右边为其算术平均..111121)11()11(1)11()11()11(111++=++=+++<⋅++=++++n n n n n n n n n n n n n个评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证.)111()11(21++++<+n n n n （2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.9.证明:先证左边不等式nn n n n n nn 1312111)1(131211]1)1[(11++++<-+⇔++++<-+⇔ n n n n n +++++<+131211)1(1nn n n )11()131()121()11()1(1++++++++<+⇔(*)1342321n n n n n +++++<+⇔.1134232134232n n n nn n n n +=+++++>+++++∴ （*）式成立，故原左边不等式成立.其次证右边不等式11)1(131211--⋅--<++++n n n n n1)11()311()211(11)131211(111--++-+-<⇔-++++-<⇔---n n n n n n nn n ⇔ 11322111--+++<-n n n n n （**）（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.。