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全国高中数学联赛试题及答案教程文件

2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括4道大题,其中一道平面几何题.
一 试
一、填空(每小题7分,共56分)
1. 若函数(
)f x =
()()()n n
f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦,则()
()991f = .
2. 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=,点A 在直线L
上,B ,C 为圆M 上两点,在ABC ∆中,45BAC ∠=︒,AB 过圆心M ,则点A 横
坐标范围为 .
3. 在坐标平面上有两个区域M 和N ,M 为02y y x y x ⎧⎪
⎨⎪-⎩
≥≤≤,N 是随t 变化的区
域,它由不等式1t x t +≤≤所确定,t 的取值范围是01t ≤≤,则M 和N 的公共面积是函数()f t = .
4. 使不等式
1111
200712
213
a n n n +++
<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 .
5. 椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上任意两点P ,Q ,若OP OQ ⊥,则乘积
OP OQ ⋅的最小值为 .
6. 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根,那么k 的取值范围是 . 7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩
上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)
8. 某车站每天800~900∶∶,900~1000∶∶都恰有一辆客车到站,但到站的时
一旅客820∶到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分). 二、解答题
1. (14分)设直线:l y kx m =+(其中k ,m 为整数)与椭圆22
11612
x y +=交于
不同两点A ,B ,与双曲线22
1412
x y -=交于不同两点C ,D ,问是否存在直线l ,
使得向量0AC BD +=,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明
理由.
2. (15分)已知p ,()0q q ≠是实数,方程20x px q -+=有两个实根α,β,数列{}n a 满足1a p =,22a p q =-,()1234n n n a pa qa n --=-=,

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式(用α,β表示); (Ⅱ)若1p =,14
q =,求{}n a 的前n 项和.
3. (15分)求函数y
加试
一、填空(共4小题,每小题50分,共200分)
9. 如图,M ,N 分别为锐角三角形ABC ∆(A B ∠<∠)的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点.过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点,I 为ABC ∆的内心,连接PI 并延长交圆Γ于T .
⑴求证:MP MT NP NT ⋅=⋅;
⑵在弧AB (不含点C )上任取一点Q (Q A ≠,T ,B ),记AQC ∆,QCB △的内心分别为1I ,2I ,
B
求证:Q ,1I ,2I ,T 四点共圆.
10.
求证不等式:
2111ln 12n k k n k =⎛⎫
-<- ⎪+⎝⎭
∑≤,1n =,2,…
11.
设k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数m k ≥,
使得C k m 与l 互素.
\。

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