隶属函数确定方法探讨袁　力,姜　琴(郧阳师范高等专科学校,湖北丹江口442700) [摘　要]隶属函数描述了研究对象对于某模糊子集的隶属程度,是模糊数学最显著的特征,也是模糊数学应用中最关键的参量.隶属函数有很多不同的确定方法,确定过程中又有很多人为的技巧.文中就隶属函数的一般确定方法以及其它确定方法进行了探讨. [关键词]模糊;隶属函数;隶属度 [中图分类号]TP391.4 [文献标识码]A [文章编号]1008—6072(2009)06—0044—031　引言模糊集理论由Zadeh首次提出后,得到了迅速的发展,并广泛应用于控制系统、人工智能、数据挖掘、模式识别等领域.在应用模糊集理论时,一个不容忽视的问题就是隶属函数的构建,它是正确运用该模糊集理论的关键所在.隶属函数是模糊数学最显著的特征,它描述了事物的不确定性,加上其值域与概率密度函数的值域相同,使人容易将两者混淆.虽然两者都研究不确定性,但却有着本质的区别.概率论研究的是事物出现与否所表现的不确定性,而事物本身的含义十分明确.比如某市车祸的概率,车祸本身没有什么不明确,只是它发生的频数是个不确定的数,但徘徊在某一数值的左右.然而模糊数学所研究的不确定性则是事物本身.这种事物被说成是甲还是乙,有时到了模棱两可的地步,最后只能说它是甲的程度是多少,是乙的可能性是多少,即这一事物是否符合某一概念没有明确的界限,仅用隶属度对符合的程度进行度量.隶属函数的确定有很多方法,可以通过模糊统计,可以通过推理,可以采用二元对比排序的方法,可以通过“学习”逐步修改、调整和完善,也可以采用典型的隶属函数作为近似[1].确定的过程是客观的,但期间又可以加上人为的技巧.2　常见的方法2.1　模糊统计法概率统计是通过大量随机试验确定某事物发生的概率,如食物A在n次试验中出现了k次,则A事物出现的概率表示为:P A=LimN→∞kn(1)一般在n足够大时,P A值稳定于[0,1]中某一个数值,从而得到A发生的概率.模糊统计在形式上类似于概率统计,并且都是用确定性手段研究不确定性.但两者属于不同的数学模型,它们有如下的重要区别.随机试验最基本的要求是:在每次试验中,事件A发生(或不发生)必须是确定的.在各次试验中,A是确定的,基本空间Ω中的元素ω是随机变动的.做n次试验,计算A发生的频率=“ω∈A”的次数n(2)随着n增大,通常会表现出频率稳定性.频率稳定所在的那个数,叫做在某种条件下的概率.模糊统计试验的基本要求[2]是:要对论域上固定的元μ0是否属于论域上一个可变动的普通集合A3(A3作为模糊集A的弹性疆域),作一个确切的判断.这要求在每次试验中,A3必须是一个取定的普通集合.在各次试验中,μ0是固定的,而A3在随机变动,做n次试验,计算μ0对A的隶属频率=“μ0∈A3”的次数n(3)随着n的增大,隶属频率也会呈现稳定性.频率稳定值就叫做μ0对A的隶属度.在进行模糊统计试验时,必须遵循一个原则:被调查的对象一定要对模糊词汇的概念熟悉并有用数量近似表达这一概念的能力;对原始数据要进行初步分析,删去明2009年12月郧阳师范高等专科学校学报Dec.2009第29卷第6期Journal of Yunyang Teachers College Vol.29No.63 33[收稿日期]2009-08-10[作者简介]袁　力(1977-),男,湖北丹江口人,郧阳师范高等专科学校数学系讲师,硕士,主要从事统计与金融数学方面的研究.YYSZXB44显不合乎逻辑的数据.2.2　二元对比排序法实际运用中要确定某模糊子集的隶属函数往往是通过确定有限个对象的隶属度来实现的,而确定这有限个对象的隶属度往往要进行两两比较,看谁的隶属程度高,从而将这些对象按隶属度大小排队,这就是二元对比排序法的基本思想.不过单独比较某两个对象,较为容易排出次序,当两两比较完全完成后,要将所有的对象排序时,由于不满足传递性,往往出现循环,无法排除次序.比如兄弟三人比谁更像父亲,老大与老二比,老二更像,老二与老三比,老三更像.但老三和老大比时,又似乎老大更像.这种情况屡见不鲜.那么,在二元对比的基础上,采用什么方法实现整体排序,怎样确定每个个体的隶属度呢?可以采用择优比较法、相对比较法、对比平均法等.择优比较法的基本思想是将两两对比的大量模糊统计结果,按频数多少择优;相对比较法的基本思想是在两两对比中确定两者相对度量级或二元比较级,然后通过一定的算法得到一个相比矩阵,最后按照一定的规则根据相比矩阵的元素确定其总体次序;对比平均法的基本思想是对任一元素,将其与其他所有元素的两两对比结果加以综合,以取平均值的方法或加权平均的方法计算出隶属度.2.3　逻辑推理法在所研究的对象中,往往有些具有特定的规律,可以按规律去设计这些对象对于具有某种特性的模糊集的隶属函数.这种方法含有推理的成分,故谓之逻辑推理法.例如:E={(A,B,C)|A+B+C=180°,A、B、C>0},易见A、B、C即三角形的三个内角.现要求给出“近似等腰三角形内角”这一模糊集的函数.由于等腰三角形的前提是两内角相等,故可将隶属函数设计为:μI (A,B,C)=1-160°min{A-B,B-C,A-C}(4)那么,只要有两个角相等,就有μ1(A,B,C)=1.当A=119°,B=59°,C=2°时,有μI(A,B,C)=1-160°min{60°,57°,117°}(5)=1-160°×57°=0.05可见,三内角相差很大时,隶属度趋近于0.2.4　专家评判法对某种特定的对象,专家最有发言权.比如“谁唱得最好”,那些声乐方面的教授及歌唱家无疑最清楚.在青年歌手大奖赛中,每一参赛的青年歌手的角逐,是通过评分委员会的专家们打分来决定名次的.每一位专家在打分时及时在对上述“谁唱得最好”的隶属程度进行评判.综合所有专家的评分,加上“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的计分方法,尽可能减少主观好恶因素的干扰,而得到客观的评分结果.这就是专家评判打分以确定隶属度的最明显最直观的实例.这种例子,在实际生活中是不少见的.3　其它确定方法为获得更符合客观实际的连续隶属函数,人们提出在获得离散数据点的情况下采用拟合、逼近及插值等方法,取得了一定的研究成果[3,4,5].但这些成果也存在着不足,如文献[4]所求取的隶属函数形式是基于梯形隶属函数的一种推广,尽管可通过共轭梯度搜索算法来求取满足约束条件下的参数,确定最终的隶属函数形式,但其拟合误差值仅在给定的形式及其精度下最小,总体误差仍不容忽视.文献[5]采用bezier曲线逼近方式,当曲线的幂次较低时,修改曲线的功能较弱,此时灵活性受到限制.文献[3, 5]需确定控制点数目及位置,且控制点数目会对拟合出的隶属函数精度造成影响.由离散数据点构造隶属函数时,离散点本身不一定非常准确,不必精确地通过各点,只需构造出的隶属函数符合离散点分布的总体轮廓,并尽可能接近已知的数据.基于这一思想,文献[6]通过最小二乘法来构建隶属函数.最小二乘法是一种数学优化技术,它建立在误差控制基础上,通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配.为减小拟合误差,采用了3项措施以达到预期目标.所构建的隶属函数,对任意输入物理量可直接得到其对应模糊语言变量的隶属度,从而有效避免专家指定隶属度的主观臆断性及不一致性.该方法简单、求解精度高,具有广泛适用性和较强的应用价值.仿真结果证实了该方法的有效性.在模糊线性规划领域中,众多学者多集中于问题的求解,而对于系数的隶属函数的确定却很少有所讨论.In2 uiguchi等人[7]讨论了可能线性规划中隶属函数的确定,他们的方法主要是通过与决策者的交流,得到模糊系数在不同α-水平下的截集,然后利用线性插值得到模糊系数的隶属函数.这一方法有几个缺点:(1)根据此方法确定的模糊系数隶属函数有时精度比较低;(2)由此确定的模糊线性规划模型有时与决策者的实际决策不一致.为克服以上缺点,文献[7]中提出通过要求决策者提供更多的α-截集来提高所得隶属函数的精度.但这一要求,有时对决策者而言,是非常苛刻的,甚至是不合理的.针对这一问题,文献[8]提出一种两阶段法来确定模糊系数的隶属函数.第一阶段,利用文献[7]中的方法,确定一个相对粗糙的隶属函数;第二阶段,利用决策者过YYSZXB45去的决策(这一要求对于决策者而言是实际可行的,甚至是容易的)来提高所得隶属函数的精确度.此方法可以有效地提高所提取隶属函数的精确度,大大降低其模糊性.4　结束语人脑作为认识和改造客观世界的主体,它对于自然现象的反映往往都是模糊的.这种模糊有来自于客体自身的模糊性,也有认识角度的模糊性.隶属程度问题就为解决事物的模糊性提供了一个重要参量.在隶属函数确定过程中,要从实际问题的特性出发,总结和吸取人们长期积累的实践经验.特别地,在判断隶属函数是否符合实际时,主要要看它是否正确地反映了元素隶属集合到不隶属集合这一变化过程的整体特性,而不在于单个元素的隶属度数值如何.因此,隶属函数的确定虽然带有浓重主观色彩,但一定要遵循客观规律和科学性.[参考文献][1]舒　宁,马洪超,孙和利.模式识别的理论和方法[M].武汉:武汉大学出版社,2004.[2]杨伦标,高英仪.模糊数学原理及应用[M].广州:华南理工大学出版社,2005.[3]Wang C H,Wang W Y,Lee T T,et a1.Fuzzy B-spline mem2 bership function(BMF)and it s application in fuzzy-neural con2 tral[J].IEEE Trans on system,Man and Cybernetics,1995,25 (5):841-851.[4]Chang P T,Huang L C.Lin H J.The fuzzy Delphi met hod via fuzzy statistics and membership function fitting and an applica2 tion to t he human resources[J].Fuzzy Set s and Systems,2000, 112(3):511-520.[5]Medaglia A L,Fang S C,Nuttle H L W,et al.An efficient and flexible mechanism for constructing membership function[J] .European J of Operational Research,2002,139(1):84-95. 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