证明：∵
⌒
⌒
⌒
⌒
A
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形， AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
B
O
·
C
随堂训练
1.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE
⌒ ⌒ ⌒
∠COD=35°
求∠AOE的度数．
E
解： ∵ BC=CD=DE
⌒ ⌒ ⌒
D C
BOC=COD=DOE=35
O
B M A
图1
1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（
）
┐
①
②
┐
③
④
3、下面我们一起来观察一下：在⊙O中 有哪些圆心角？并说出圆心角所对的弧， 弦。
A
B
o C
知识探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为 什么？ A′ B′ B B′ A A′
O
．
B
A
B

A
O
·
AOE 180 3 35


75

随堂训练
2、如 图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦， ⌒ ⌒ AD=BC 求证AB＝CD.
C B O D A
3、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O 的半径，弦BE∥OA。
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
A
C
O
E
B
类型练习2:
思维拓展: 小林根据在一个圆中圆心角、弦、 弧三个量之间的关系认为在如图中 ︵ 已知∠AOB=2 ∠COD,则有 AB ︵,AB=2CD,你同意他的说法吗? =2 CD C D
延伸 圆心角定理及推论整体理解： B (1) 圆心角 知 α (2) 弧 一 A Oα 得 (3) 弦 三 (4) 弦心距
A′
B′
判断：
1、等弦所对的弧相等。
2、等弧所对的弦相等。
（× ）
（√ ）
3、圆心角相等，所对的弦相等。(
×）
4、弦相等，所对的圆心角相等。（×）
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
______________,__________,____________。 ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 _________,________,_________。 ⌒ ⌒
OE=OF
AB=CD AB=CD
例题
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC. AB=AC ∴ AB=AC, △ABC等腰三角形．
24．1．3 弧、弦、圆心角
一、圆的对称性
1.圆是轴对称图形,经过圆心的 每一条直线都是它的对称轴. 2.圆是中心对称图形, 圆心的 是它的对称中心. 3.圆具有旋转不变性.(绕圆心 旋转任何一个角度后都能与自 身重合)
点击概念
顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB , 圆心角 AOB 所对 所对的弦为AB； 的弧为 AB， 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。ຫໍສະໝຸດ （1）如果AB=CD，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
（2）如果OE=OF，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD 那么
⌒ ⌒
可推出
思考:
如图: ∠AOB＝∠COD, 那么 ⌒ ⌒ 吗? AB=CD
Ａ
ＣE O
F
Ｂ Ｄ
弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
那么
弦所对的弧相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
B · O
· O
A
∠AOB=∠A’OB’,
AB=A’B’,
AB=A’B’,
定理
这样，我们就得到下面的定理：
A′ B′
B
弦AB和弦 A′B′ 对应的弦 心距有什么关 系？
O
·
A
圆心角定理：在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等， 所对弦的弦心距也相等。 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′