④旋转反轴（Lin） i表示反演，n表示轴次。旋转反轴是一假想直线和其上一点所 构成的一种复合对称要素。组成：旋转+反演两部分。可能有： Li1 Li2 Li3 Li4 Li6 （五种） 旋转反轴与对称轴的关系：
Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li6 = L3 +P Li4是独立的
、 n 之间的关系为：
n = 360o/
对称定律：晶体外形上可能出现的对称轴的轴次，不是任 意的，只能是1 2 3 4 6 。
高次对称轴：轴次高于2的对称轴称（3、4、6）。
晶体中对称轴可能存在的位置： （1）两个相对晶面的连线； （2）两个相对晶棱中点的连线； （3）相对的两个角顶的连线 （4）一个角顶与之相对的晶面之间的连线
周期性、结构基元与点阵
一维周期性结构与直线点阵
Cu （111面）密置层（每个原子就是一个结构基元，对应一个结点）：
二 维 周 期 性 结 构 Cu （111面）的点阵. 红线画出的是一个平面正当格子： 与 平 面 点 阵
实例：如何从石墨层抽取出平面点阵
石墨层
小黑点构成平面点阵。为比 较二者关系, 暂以石墨层作为背景， 其实点阵图形与石墨层图形不同。
方法：根据对称性的高低进行分类。 首先：在32种对称型中，按对称型的特点划分为：七个晶系 然后：再按高次轴的有无和高次轴的数目，将七个晶系并为三
个晶族 即归类——划分——合并 结果： 表1-1 32种点群的国际符号及晶体的宏观对称特点与分类
1.3 空间点阵--14种布拉维点阵
晶体内部质点周期性的描述
综合来看：晶体外形上的对称要素有九种
C P L1 L2 L3 L4 L6 Li4 Li6
对称型：
单个晶体中，全部对称要素的组合。
点 群：
对称要素按一定的规律组合在一起，所有可能出现的对 称型数目。
数 量：
对称要素的有限性（9种），组合的规律性（对称组合 定理），决定了对称型总数只有32种。
晶体的对称分类
各向异性：不同方向，晶体有不同物理性质的特点。
岩盐晶体中，不同方向的三个小柱，使其折断所 需的力是不一样的；
晶体的光学性质也表现出明显的方向性。晶体 不同方向上有不同的折射率 压电性只在晶体某特定方向出现；
晶体膨胀系数在不同方向也不一样； 云母、石墨的解理性显示出明显的方向性；
1.2 晶体的宏观对称性
石墨层的平面点阵
为什么不能将每个C原子都抽象成点
（红线围成正当平面格子） 阵点？如果这样做，你会发现……
?
实例：NaCl(100)晶面如何抽象成点阵？
矩形框中内容为一个结构基元，可抽象为一个结点。安放 结点的位置是任意的，但必须保持一致,这就得到平面点阵:
1.3 空间点阵--晶体内部质点周期性14种布拉维点阵 • 晶体是由在空间有规律地重复排列的微粒（原子、分子、
材料科学与工程
使用效能
合成与 制备
无机非金 属材料科 学与工程
性能
组成与结构
第1章 晶体结构基础
1.1晶体的基本概念及性质 1.2晶体的宏观对称性—32种点群 1.3空间点阵--晶体内部质点排列的周期性 ------14种布拉维点阵 1.4点阵几何元素的表示方法 1.5晶体的微观对称性—230种空间群 1.6紧密堆积原理 1.7典型晶体结构
• 晶体的性质
1. 晶面角守恒定律(law of constancy of interfacial angle)
2. 有固定的熔点(melting point) 3. 各向异性(anisotropy) 4. 具有对称性(symmetry) 5. 相同化学组成，能量最低。
• 无定形物质的特征 1. 没有固定的外形 2. 没有固定的熔点 3. 各向同性(isotropy)（内应力为0时）
空间点阵中的平行六面体（素格子、复格子） 和单位平行六面体（正当格子）
虽然晶体很小，但是由于结点重复的数量巨大，数 学上可以认为点阵是无限大的。只要从点阵中取一个单 位平行六面体，就可以认识这种点阵。
如何从点阵中取出一个单位平行六面体呢？
直线点阵与素向量、复向量
平
面
点
阵
与
正
当
平
面
净含一个结点的平面格子是素格子，多于一个结
第1章 晶体结构基础
1.1 晶体的基本概念及性质
晶体的基本概念（P.1）
古代：外形具有规则的几何多面体 形态的石英（水晶）成为晶体；
天然的具有几何多面体形态的固体， 如食盐、方解石等都称为晶体。
晶体是内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体，即具 有格子构造的固体。
1.1 晶体的基本概念及性质
• 构成点阵的几何点称为结点，结点所代表的重复单位的具 体内容称为结构基元。
• 空间点阵体现了晶体结构大； ②每个结点周围具有相同的环境； ③任意方向平移一定的周期后能图形完全复原。 平移：所有结点在同一方向移动同一距离且使图形
复原的操作。 当平移向量的一端落在任意一个结点上时，另一端 也必落在点阵的另一个结点上。
离子）组成的，为了讨论晶体周期性，不管重复单元的具 体内容,将重复单元抽象为几何点（无质量、无大小)，这 个几何点在晶体结构中称为等同点，那么这些点在空间的 排布就显示了晶体结构中原子（或分子、离子）的排布规
律。点阵
• 由晶体结构中抽象出的这些几何点在空间有规律排列构成 的图形称为该晶体的空间点阵，空间点阵中的几何点称为 结点。
方法： P 2P 3P…… 9P
P与晶面、晶棱的关系：
（1）对称面垂直并平分晶体上的晶面晶棱；
（2）垂直晶面并平分它的两个晶棱的夹角；
（3）包含晶棱
③对称轴（Ln）：为一假想的直线。对称操作为绕此直线的 旋转，可使晶体上的相同部分重复出现。使相同部分
重复出现的最小旋转角，称为基转角（ ），旋转一 周中，相同部分重复出现的次数，称为轴次（ n ）。
对称的概念和晶体的对称性 对称：物体相同部分的有规律重复
晶体的宏观对称要素和对称操作： ①对称中心（C）：假想的一个点，相应的操作是对 于这个点的反演。
C
晶体如具有对称中心，晶体上的所有晶面，必定全都 成对地呈反向平行的关系。其对称中心必定位于几何 中心，习惯符号为“C”。
②对称面：为一假想的面，对称操作为对此平面的反 映—照镜子。