轴对称—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形；
2．理解轴对称图形的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形；
3．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线；
4.能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】
要点一、轴对称与轴对称图形
1.轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
要点诠释：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
2.轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
要点诠释：
轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. （后边学习全等）
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
4.轴对称、轴对称图形的性质
轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等；
如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．
要点二、线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. （后边学习全等）
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.（外心以后学习）
要点三、对称轴、轴对称图形的作法
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
3.用坐标表示轴对称
点（x ,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ,－y ）；点（x ,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（－x ,y ）；点（x ,y ）关于原点对称的点的坐标为（－x ,－y ）. 要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【典型例题】
类型一、作轴对称图形
1、如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线
EF 对称.
（1）画出直线EF ；
（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠''BOB 与直线MN 、EF 所夹锐角α之间的数量
关系.
【答案】（1）如图；（2）∠''BOB ＝2α；
【解析】
（1）如图所示；
（2）∵△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称， △'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.
∴∠BOM ＝∠'B OM ，∠'B OE ＝∠''B OE ，
∵∠'B OM ＋∠'B OE ＝α
∴∠''BOB ＝2α
【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.
举一反三：
【变式】在下图中，画出△ABC 关于直线MN 的对称图形.
【答案】△'''A B C 为所求.
类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）
2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河
OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．
【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.
【答案与解析】见下图
作点M关于OA的对称点M'，
作点N关于OB的对称点N'，
连接M N''交OA于P、交OB于Q，
则M→P→Q→N为最短路线．
【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.
举一反三：
【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ
最短．
【答案】作点M 关于OA 的对称点M '，过M '作OB 的垂线交OA 于P 、交OB 于Q ，
则M →P →Q 为最短路线．如图：
3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a ，沿河OB 排开(从点P 到点Q)；
将军从马棚M 出发到达队头P ，从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场N ．请问：在什么位置列队(即选择点P 和Q)，可以使得将军走的总路程MP ＋PQ ＋QN 最短?
【答案与解析】见下图
作法：作N 关于OB 的对称点N '，再作N N '''∥BO 且N N '''＝a (N ''在N '的左侧)； 连接MN ''交OB 于点P ，再在OB 上取点Q 使得PQ ＝a (Q 在P 的右侧)，
此时，MP ＋PQ ＋QN 最小．
【总结升华】MP ＋PQ ＋QN 最小，其中PQ 是定值a ，问题转化为MP ＋QN 最小.因为将军要沿河走一段线段a ，如果能把这段a 提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从'N 沿平行的方向走a 至''N ，连接''MN 即可.
类型三、用坐标表示轴对称
4、若点M （2,a ）和点N （a b +，3）关于y 轴对称，则a ＝ ，b ＝ .
【思路点拨】已知P 点坐标
，则它关于x 轴的对称点的坐标为，关于y 轴对称点的坐标为. 【答案】 3，－5 ；
【解析】点M 和点N 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等.
∴20a b ++=, 3a =，解得b ＝－5.
【总结升华】要掌握点关于x 轴，y 轴，原点等对称的点的坐标变化规律.
举一反三：
【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的
值为（ ）．
A ． 5-
B ． 1-
C ． 1
D ． 5
【答案】B ；
提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.
【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．
【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）.。