思考：分解因式： abcx2 (a2b 2 c 2 )x abc
十字相乘法因式分解培优讲解训练
1、二次项系数为 1 的二次三项式
直接利用公式—— x2 ( p q)x pq ( x p)( x q) 进行分解。
2、二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax 2 bx c
条件：（ 1） a a1a2
a1
c1
（ 2） c c1c2
a2
c2
（ 3） b a1c2 a2c1
= (a 8b)(a 16b)
练习：分解因式 (1) x2 3xy 2y 2
(2) m 2 6mn 8n 2
(3) a 2 ab 6b 2
4、二次项系数不为 1 的齐次多项式
【例 3】 2x2 7 xy 6 y 2
1
-2y
2
-3y
(-3y)+(-4y)= -7y
x2 y 2 3xy 2
把 xy 看作一个整体 1
-1
1
-2
(-1)+(-2)= -3
解：原式 = (x 2 y)( 2x 3y)
解：原式 = ( xy 1)( xy 2)
练习：分解因式： （ 1） 15x2 7xy 4 y2
（ 2） a 2 x2 6 ax 8
综合练习（ 1） 8 x6 7 x3 1
（ 2） 12x2 11xy 15 y2
（3） ( x y) 2 3( x y) 10
（3） 10 x2 17 x 3
（ 4） 6 y2 11y 10
3、二次项系数为 1 的齐次多项式
【例 2】分解因式： a 2 8ab 128b 2
分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)= -8b
解： a 2 8ab 128b2 = a 2 [ 8b ( 16b)]a 8b ( 16b)
b a1c2 a2c1
分解结果： ax 2 bx c = (a1x c1)(a2 x c2 ) 【例 1】分解因式： 3x 2 11x 10
分析：
1ห้องสมุดไป่ตู้
-2
3
-5
（ -6） +（-5） = -11
解： 3x 2 11x 10 = (x 2)( 3x 5)
练习： 分解因式： （1） 5 x 2 7x 6
（2） 3x2 7x 2
（ 4） (a b) 2 4a 4b 3
（5） x2 y2 5x2 y 6x2
（ 6） m 2 4mn 4n2 3m 6n 2
（7） x2 4xy 4 y 2 2x 4 y 3（ 8） 5(a b) 2 23(a 2 b2 ) 10( a b) 2
（9） 4x 2 4xy 6 x 3y y 2 10 （ 10） 12(x y) 2 11( x 2 y 2 ) 2( x y) 2