第一章 线性空间与线性映射线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的性质、线性映射与矩阵的关系等。
§1.1 数 域定义1 设F 是至少包含两个数的数集，如果F b a ∈∀,均有ab b a ,±F b ba∈≠)0(,，则称F 是数域。
例1 全体实数构成实数域，记为R 。
全体复数构成复数域，记为C 。
全体有理数构成有理数域，记为Q 。
例2 全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。
例3设{|,}F a a Q b Q =∈∈，证明F 是数域。
证明 ,F αβ∀∈，则1122,,,a b a b Q ∃∈，使得1122,a a αβ==，易证,αβαβ±,(0)F αββ≠∈。
例4 证明任何数域F 都包含有理数域。
证明 因为F 中至少包含两个不同元素，所以0,≠∈∃a F a ，由运算的封闭性知F aa∈=1，112,123,F +=+=∈ 121,132F -=--=-∈，所以F 包含了全体整数，又由除法封闭性知F 包含有理数域。
和号：∑∑∑∑=====∈n j mi j i m i nj ji j i a aF a 1111,§1.2 线 性 空 间在线性代数中n R 是n 维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空间。
定义1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V 关于加法封闭，即,,x y V ∀∈有唯一的V y x ∈+。
在F 与V 之间定义一种运算称之为数乘，即V x F ∈∈λ∀,有唯一确定的V x ∈λ=ω与之对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V 为数域F 上的线性空间，V 中元素也称为V 中的向量，也记)(F V V =。
V y x x y y x ∈∀+=+,.1V z y x z y x z y x ∈∀++=++,,)()(.2.3V θ∃∈使,x x x V θ+=∀∈，称θ为零元素，也记为0。
V y V x ∈∃∈∀,.4，使x y θ+=（记x y -=） 5.()x x x λμλμ+=+ ,F λμ∀∈ x V ∀∈ y x y x λ+λ=+λ)(.6 F λ∀∈ ,x y V ∀∈ 7.()()x x λμλμ= ,F λμ∀∈ x V ∀∈ 8.1x x x V =∀∈例1 设F 为数域，则1212{[]|,,,}n T n n F a a a a a a F =∈按通常的n 维向量加法与数乘，不难证明n F 为F 上的向量空间。
例2 记n m F ⨯为数域F 上的n m ⨯矩阵的全体，按通常的矩阵加法与数乘构成F 上的向量空间，其中m n O θ⨯=。
例3 ],[b a C 为区间],[b a 上一切一元连续实函数，按通常的实函数加法和数乘，构成了实数域R 上的线性空间，其中0θ=。
例4 n x P ][为不超过1-n 次的实多项式及零多项式的全体，是实数域R 上线性空间。
例5 复数域C 是实数域R 上的线性空间，而R 却不是C 上的线性空间. 以下为线性空间的简单性质。
性质1 线性空间)(F V 中零元素唯一。
证明 设有零元素12,()V F θθ∈，则1122θθθθ=+=。
性质2 (),()x V F y V F ∀∈∃∈使得,x y θ+=则y 唯一，称为x 的负元素。
证明 设12,x y x y θθ+=+=，则1112()y y y x y θ=+=++ 1222()y x y y y θ=++=+=性质3 0,(),x x x θλλλθθ=-=-= 证明 x x x x 00)00(0+=+=，所以0x θ=。
因为()[()]0x x x x λλλλθ+-=+-==，所以x x λ-=λ-)(。
因为()x x x λλθλθλ+=+=，所以λθθ=。
性质4 若x λθ=其中)(,F V x F ∈∈λ，则0=λ或x θ=。
证明 若0=λ命题显然成立，不妨设0≠λ，则11()x x λθθλλ===定义2 设)(F V W ⊂，若W 在数域F 上也是线性空间，则称)(F W 为)(F V 的子空间（按原来的两种运算）。
若W 是线性空间V 的非空子集，则在线性空间定义的八个条件中除3,4条外，W 显然满足其余条件。
而如果封闭性满足了，3,4条就成立了。
这是因为)(,,,F W x W y x W y x ∈λ∀∈λ∈+∈∀，则0,x W θ=∈(1)x x W -=-∈，因此有下面的定理。
定理1 设)(F V 是线性空间，W 为V 的非空子集，按原来的两种运算W 是线性空间⇔W 按原来两种运算封闭。
例6 数域F 上的n 阶对称阵的全体构成了n n F ⨯的一个子空间。
定义3 设t ααα,,,21 是数域F 上的线性空间V 中的向量，则不难证明t ααα,,,21 的线性组合的全体构成了V 的一个子空间，记为),,,(21t L ααα 或 12span[,,,]t ααα，称为t ααα,,,21 生成或张成子空间。
零向量集合及V 本身都是的V 子空间，称为平凡子空间。
若W 是V 的子空间，且不是平凡子空间，则称W 是V 的真子空间。
§1.3 线性空间的基与n R 中一样，我们在)(F V 中也要讨论线性相关性及向量组的秩和极大无关组，向量组的等价性，线性空间和线性子空间的基底，维数以及向量在一组基下的坐标及相关性质。
一、线性空间的基定义1 设m i F a F V x i i ,,2,1),( =∈∈，若1122m m x a x a x a x =+++则称x 可由12,,,m x x x 线性表示，或称x 为12,,,m x x x 的线性组合。
定义2 设12:,,,m A x x x ，12:,,,s B y y y 是线性空间()V F 中的两个向量组，如果A 中的任一个向量可由向量组B 线性表示，则称向量组A 可由向量组B 线性表示。
如果向量组A 与B 可以互相线性表示，则称向量组A 与B 等价。
定义3 设12,,,()m x x x V F ∈，如果存在一组不全为0的常数12,,,m a a a F∈使11m m a x a x θ++=则称向量组12,,,m x x x 线性相关，否则称12,,,m x x x 线性无关。
定义4 设12,,,m x x x 是()V F 中的向量组，如果12,,,m x x x 中有r 个向量线性无关，而所有的1r +个向量（如果有的话）都线性相关，则称此r 个向量为向量组12,,,m x x x 的极大无关组，称r 为向量组12,,,m x x x 的秩，记为12rank[,,,]m x x x 。
规定只含零向量的向量组秩为零。
与n R 类似，在线性空间)(F V 中下列命题成立：命题1 设2m ≥，则()V F 中向量组12,,,m x x x 线性相关⇔其中有某个向量可由其余的向量线性表示。
命题2 若)(F V 中向量组的某一子向量组线性相关，则该向量组线性相关。
命题3 若)(F V 中向量组12,,,m x x x 线性无关，则其任意非空子向量组也线性无关。
命题4 设)(F V x ∈，则x 线性无关x θ⇔≠。
命题5 设12,,,,()m x x x y V F ∈，若12,,,m x x x 线性无关，12,,,,m x x x y 线性相关，则y 可由12,,,m x x x 唯一线性表示。
定义5 线性空间V 中的向量12,,,n x x x 称为V 的基向量组或基（底），如果有 .112,,,n x x x 线性无关；)(.2F V 中任一向量可由12,,,n x x x 线性表示。
称n 为V 的维数，记dim V n =。
如果对n ∀均可在)(F V 中找到n 个线性无关的向量，则称)(F V 为无限维的向量空间（例如实数域上全体多项式的集合）。
只含零向量的线性空间维数规定为0。
命题6 若12,,,n x x x 为线性空间()V F 的基，则()x V F ∀∈，x 可由12,,,nx x x 唯一线性表示。
命题7 若12,,,n x x x 为线性空间()V F 的基，则12()[,,,]n V F L x x x =。
定义6 设12,,,n x x x 为)(F V 的基，则()x V F ∀∈，有唯一的表达式12121[,,],,1,2,,ni i n i i n a a x a x x x x a F i n a =⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑称12,,,n a a a 或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为x 在基12,,,n x x x 下的坐标。
注：基不唯一，例如在n R 中110,0e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2010e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，001n e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和111,1e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2110e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，100ne ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦都是nR 的基 。
称110,0e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦201,,0e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦001n e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为n R 和n C 的自然基底。
例1 []n P x {}1011011()(),,,,n n n f x f x a a x a x a a a ---==+++∈R ，则12,,,,1-n x x x 为[]n P x 的基。
注：n 次多项式的全体不构成线性空间，因为不封闭。
二、基与基的关系，向量在两组基下的坐标关系定义7 设)(F V 的两组基为12,,,n εεε和 12,,,nεεε'''，令 111112211122n nnn n nn na a a a a a εεεεεεεε'=+++⎧⎪⎨⎪'=+++⎩则[]12,,,n εεε'''[]111121,,,n n n nn a a a a εεε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即[]12,,,nεεε'''[]12,,,n A εεε=称1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为由基12,,,n εεε到12,,,nεεε'''的过渡矩阵。
命题8 基底过渡矩阵A 可逆。
证明 因为12,,,nεεε'''线性无关，所以 []12,,,nεεε'''12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 只有零解，即[]12,,,n εεεAx =0只有零解。