关于学校基金使用最优规划摘要本题是研究学校基金，根据合理分配基金，使得学校获得基金最大的利率收益，并用于学校的年终奖励优秀师生.在分析整个问题中，本文中考虑是基金到位的每周年年末给予优秀师生奖励奖金.通过银行存款利率或者购买国库券利率来对学校基金进行分配，并根据学校的基金数额和年限通过线性优化建立模型，最后用lingo8.0软件计算.关于问题一，本文根据题中给予的要求，对使得学校基金全部用于银行存款，获得每年给予的奖金达到一个最大值.本文中都是以一年奖励一次优秀师生，则根据存入银行中的利率可以得出模型一中不考虑存活期和半年期.模型一是每年年初投入储蓄总额等于上一年储蓄到期的本息和与每年支出奖金额的差，建立一个线性方程组来对题中问题进行整体刻画.目标考虑：使得每年给予的奖金额大致相同且在限期第十年时基金的总额不变，根据线性方程组所建的模型，运用lingo8.0软件计算得到，此模型的最优解：每年奖金额最大值为109.8169万元.关于问题二，增加了对国库券的购买，且国库券的发行次数和发行时间不定，本文中构造了短期储蓄（包含活期和半年期储蓄），短期储蓄用于购买当年国库券.与短期储蓄相关的有短期利率期望和单位国库券利息期望，用于导出每年国库券所收入的利息，并且国库券利息是按年付息.模型二是每年年初投入储蓄的总额等于上一年储蓄到期的本息和与上一年购买国库券获得利息扣除每年支出奖金额，建立线性方程组，再用lingo8.0软件进行计算，得到最优解为131.5011万元.问题三是在问题二的基础上的，改变了一个约束条件（第三年支出的奖金为正常情况下的120%），通过模型二计算得到最优解，得到的最优解为128.7532万元.d关键词:短期储蓄国库券期望一、问题重述随着国名经济的发展，越来越多的学校（不论小学、中学、大学）已近拥有了属于自己学校的基金，因此各个学校对基金的处理也有不同的方式，其中大部分学校是将基金存入银行或者用于购买国库券来获取利息的收益，从而达到学校有所收益.下面本文针对将基金获得的利息用于奖励优秀师生的问题，获得一个最优目的.某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券.当前银行存款及各期国库券的利率见下表.假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定.取款政策参考银行的现行政策.校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额.校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额.请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券；3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%.表一：存款利率和国库券利率一览表二、问题分析本题是在三种不同的情况下，研究基金通过存入银行或购买国库券（非竞争性购买）获取收益，用于奖励优秀师生.联系实际，一般奖励优秀师生都是一年一次，则为年终奖励.本题中主要根据相应利率和该校的基金金额及年限来获得一个最优的基金分配方式，使得在相应要求下奖金获得最高.问题一：在该学校拥有基金时，将基金全部存入银行，获取利息收入，且是基金数额为5000万元，年限为10十年.每年都将对该校优秀的师生进行奖励，且每年奖励的奖金额差距不明显，在期限10年期末总基金数额不变.本文中对问题一的分析是第一年的总存款是5000万元，接下来每年都有取和存，且年终要给予奖金C万元.每年年初的存入银行资金数额的和是上一年到期基金的本息总额中扣除奖金C万元.十年期末基金与原数额相同的一个优化问题.问题二：该学校将拥有的基金可以用于购买国库券或者存入银行，用于给予年终奖励该校优秀师生的奖金.在该问题中，既可以将基金存入银行又可以购买国库券，但是国库券的购买是不确定的，原因是并不知道每年国库券发行的次数和时间，因此国库券的购买通过一个概率期望将每年国库券发行做一个期望得到一个短期利率期望A，与存款天数无关，并且引进单位国库券利息期望B.本题国库券利息按每年付息一次，到国库券到期时最后一次利息和本金一并取出.假设该学校每年只买最先发行的一次国库券，国库券的利息收入是大于存入银行的利息收入（根据表一可得出的结论），该问题中第一年的基金同样是5000万元，年初基金全部用于存入银行储蓄，但有活期或则本半年期作为短期储蓄，短期储蓄用于购买国库券，且购买本年的库券利息只能在下一年获得.那么得到一恒等式：每年年初存入银行的金额总和=上一年储存在银行的到期存款的本息和+国库券利息()*1+B-C.十年期末基金与原数额相同的一个优化问题.问题三：因为同年期的定期利率低于国库券利率，故为了求最大值，只考虑及存款又购买国库券.该问是在问题二的基础之上，在基金到位的第三年时，使得第三年的奖金额增加20%，在此基础之上取得一个最优解.三、模型假设1、假设在期限内存款税后利率和国库券利率不变；2、假设学校在基金到位满周年时奖励优秀师生（相当于年终奖励）；3、假设每年国库券购买只买每年最先发行的国库券；4、假设每年奖励优秀师生的奖金相等；5、假设一年为360天；四、符号说明五、模型的建立与求解1、问题一的模型建立与求解1）问题一的数据处理针对于问题一，仅考虑基金在分配时全部用于银行存款，且M=5000万元期限为十年，每年给予该校优秀师生的奖励的奖金都相同，十年后基金及其利息仍为原基金数额，考虑到活期和半年期的税后年利率比较低则在模型一中不给予考虑，则据此建立一个线性方程组（使得每周年年初的存入款等于上一周年年末可以取出的本息扣除每年度总奖金额C ）.由于奖励是在每周年年末支付，则根据表一可以得出任意一笔资金存入银行期限在一年以上的分配要使的利息.该模型的决策变量是题中要求，只有存款不够买国库券时，要使在十年期满之时，此时的基金和其利息之和与原始基金数额相等，达到每年奖励优秀师生的奖金额达最大.决策变量：设ij x 为基金在第i 年初以第j 种存款方式存入银行的金额（i 12310j 1236=⋯=⋯（，，；，，），即第i i 12310=⋯（，，）年存储一年期、二年期、三年期、五年期的金额分别是3i x 、4i x 、5i x 、6i x ；设j r j 1236=⋯（，，）为基金以第j 种分配方式时税后利率，分别是0.792%、1.664%、1.800%、1.944%、2.16%、2.304%；设C为每年年终奖励优秀师生的总金额.目标函数：设Z 为每年年终奖励优秀师生的总金额，故 Z C =约束条件：每周年年初的存入款等于上一周年年末取出的本息扣除每年度总奖金额C ，则 即S.T.613(1)jj xM i ===∑632(1(2))(2,3;1,3)ijm n n j m n i xx n r ci m n =+=+=+--=≥≥∑∑632(1(2))(4,5;3,3)ijm n n j m n i xx n r ci m i n =+=+=+--=≥-≥∑∑6(5)6632(15)(1(2))(6,7,8,9,10;3,3)iji m n n j m n i xx r x n r ci m i n -=+=+=+++--=≥-≥∑∑66613(15)(1(2))(8,3)mn n m n x r x n r c Mm n +=+++--=≥≥∑又由非负约束条件得：0,110ij ij x i j x ≥+>=且当时，2）问题一的模型建立根据上述综合可建立模型一：目标函数：M ax Z C=约束条件：S.T. 613(1)j j x Mi ===∑632(1(2))(2,3;1,3)ijm n n j m n i xx n r ci m n =+=+=+--=≥≥∑∑632(1(2))(4,5;3,3)ijm n n j m n i xx n r ci m i n =+=+=+--=≥-≥∑∑6(5)6632(15)(1(2))(6,7,8,9,10;3,3)iji m n n j m n i xx r x n r ci m i n -=+=+=+++--=≥-≥∑∑66613(15)(1(2))(8,3)mn n m n x r x n r c Mm n +=+++--=≥≥∑0,110ij ij x i j x ≥+>=且当时，3）模型一的求解该模型中建立的线性方程组最优化，则我们选择lingo8.0软件进行编程（程序见附录）就可得到问题中所要求的最优解：在此模型中得到的每年奖金额最大值为max 109.8169Z =万元.2、问题二的模型建立与求解1）问题二的数据处理针对于问题二，在该问题中，既可以将基金存入银行又可以购买国库券，但是国库券的购买是不确定的，原因是并不知道每年国库券发行的次数和时间.每年都可以购买国库券，国库券的利息收入是远超过存入银行的利息收入（根据表一可得出的结论），本模型中将储蓄期小于一年的储蓄方式统称为短期储蓄（包括活期和半年期），用于简化每年国库券发行时间和发行次数的约束，且每次购买国库券时都购买当年第一次发行的国库券，由表一知，国库券利率高于存入银行的的利率，则越早购买，益越高，因此每年购买国库劵都在第一次发行的时候购买.国库券的购买必须通过一个概率期望将每年国库券发行做期望计算，使得存在一个短期利率期望和单位国库券利息期望算国库券每年的利息（国库券利息是每年付息一次）.该问题中第一年的基金同样是5000万元，年初基金全部用于存入银行储蓄，但有活期或者本半年期作为短期储蓄，短期储蓄用于购买国库券，且购买本年的库券利息只能在下一年获得. 短期利率期望：18036012212211800.5(10.5)(180)360360360x r r r x r A dx dx⨯⨯+⨯⨯-⨯=++⎰⎰单位国库券利息期望: 1803602112211800.5(180)(360)()360360360r x r x r B dx dx ⨯-⨯-⨯=++⎰⎰将1r 、2r 代入A 、B 中的得到0.614%A =、0.410%B =.2）问题二的模型建立该模型的决策变量时题中要求，可以存款也可购买国库券，要使在十年期满之时，此时的基金和其利息之和与原始基金数额相等，达到每年奖励优秀师生的奖金额达最大.决策变量： 设ij x 为表示基金在第i 年初以第j 种存款方式存入银行的金额i 12310j 1236=⋯=⋯（，，；，，），第i i 12310=⋯（，，）年存储活期、半年期、一年期、二年期、三年期、五年期的金额分别是1i x 、2i x 、3i x 、4i x 、5i x 、6i x ；设j r j 1236=⋯（，，）为基金以第j 种分配方式时税后利率，分别是0.792%、1.664%、1.800%、1.944%、2.16%、2.304%；设C 为每年年终奖励优秀师生的总金额；ik y i 12,310k 4,5,6=⋯=（，；），为第i 年购买k年期国库券的金额，第i i 12,310=⋯（，）年购买两年期、三年期、五年期的国库券分别是4i y 、5i y 、6i y ；k R 为购买k 年期的国库券的年利率k 4,5,6=（），分别是2.55%、2.89%、3.14%.设C 为每年年终奖励优秀师生的总金额.根据对问题二的分析，每年年初存入银行的金额总和=上一年储存在银行的到期存款的本息和+国库券产生的本息*1+B -C （）.即可建立模型二： 目标函数： Z C = 约束条件：S.T. 611(1)j j x Mi ===∑621331(1)(2)jj xx r ci ==+-=∑6331121(1(2))()(1)(3;1,3)jm n n k k j m n i k xx n r y R B ci m n =+=+==+-++-=≥≥∑∑∑6341112121(1(2))(())(1)(4;1,3)jm n n kk k j m n i k xx n r y yy R B ci m n =+=+==+-++++-=≥≥∑∑∑6351221332123121(1(2))((1)())(1)(5;2,3)jm n n kk k j m n i k xx n r y R y R y yy R B ci m n =+=+==+-+++++++-=≥≥∑∑∑661661332222333112(15)(1(2))((1)jm n n j m n i xx r x n r y R y R y R y =+=+=+++-+++++∑∑3341())(1)(6;3,3)kk k k yy R B ci m n =+++-=≥≥∑6(5)66(6)33(5)33(4)2212(15)(1(2))((1)(1)iji m n n i i i j m n i xx r x n r y R y R y R ----=+=+=+++-+++++∑∑3(4)33(3)1(3)(2)1())(1)(7,8,9,10;3,3)i i i ki k k k y R y yy R B ci m i n ----=+++++-=≥-≥∑66653363372273313(15)(1(2))((1)(1)mn n m n x r x n r y R y R y R y R +=+++-++++++∑38181)(1)(8,3)k k k y y R B c Mm n =+++-=≥≥∑2311(1)(1,...,10)ijik kj k xA y R i ==+==∑∑0,0,0,0ij ik ij ik x y x y ≥≥==且当i+j>11时,当i+k>10时,3）模型二的求解建立的线性方程组最优化，则我们选择lingo8.0软件进行编程（程序见附录）就可得到问题中所要求的最优解：该模型下得到的奖金额最优值为max 131.5011Z=万元3、问题三的模型建立问题三是问题二的基础之上改变了一个约束条件的一个问题，则问题三的解决是通过模型二来求解.通过模型一和模型二的模型求解过程，代入问题三的约束条件（第三年的奖金额增加20%），求得在此约束条件下得到的最优值Z.在此模型中得到的每年奖金额最优解为max 128.7532Z=万元，第三年为Z=120%=154.5038万元.六、结果分析1.问题一种的结果：根据对每年年初可用金额和该年的上年期末可用金额相等，一步一步的根据题中数据及要求得到，j r、C、M都为固定值，只有是决策变量，通过lingo8.0的计算，该结果比较接近真实值，且是该模型的最优值；2.问题二的结果：该模型中将不确定的国库券发行因素转化为确定的短期储蓄因素，较大程度上的解决了计算上的障碍，但并没有改变该因素的真实作用.模型二中还将某些合理且可以简洁计算的条件作出假设，则结果与真实值有所差异（差异不大）.3.问题三的结果：问题三是在问题二上作出约束条件的改变，问题三与问题二的结果差异相似，得出结果是该模型的最优解.4.建模过程中，做出了一些合理的、方便计算的假设，使得本文得到的结果与本题结果真实值有一定的差距；5.根据模型得出结果，我们可以得出一个结论，在投资过程中，要使利润回报最大化，则在相应时间内，应该投资于利率越大的投资组合.七、 模型的评价1.模型是根据题中条件和实际情况，有简单到复杂慢慢建立起来的，具有现实特征；2.模型中将国库券发行的不确定因素由短期储蓄转向确定因素，简化计算难度；3.模型中是将题中给出的条件和要求建立线性方程组，使模型一目了然且易理解；4.模型中，全部是根据建立的线性方程组来计算的，思想一目了然，易懂.5.模型二中，引入的短期储蓄以及 短期利率期望：18036012212211800.5(10.5)(180)360360360x r r r x r A dx dx⨯⨯+⨯⨯-⨯=++⎰⎰、单位国库券利息期望: 1803602112211800.5(180)(360)()360360360r x r x r B dx dx⨯-⨯-⨯=++⎰⎰国库券发行的不确定性用概率论知识确定化，减轻计算和模型中考虑不确定性的难度.八、 模型的推广该模型是针对于学校的具有的基金的投资分配的问题，对于该文中的模型是仅仅对其在10年内投资分配的决策性问题.1）在当今的情况下，基金的投资分配不仅仅是限制在10年内的，该种模型可以将其范围推广：扩大或减少基金投资年限（增加年限为20年）、可以提高或减少基金基本额（如最初基金为1000万元）、可以扩大或减少投资的方式（例如购买股票等）等；2）在现实情况下，不仅仅只有学校才有基金支持，即有许多不同的公司等组织都有基金的支持，且各个不同的组织可以用这些基金的投资方式来处理不同的经济问题.通过对以上问题的了解，结合本文中建模的思想，则可以将相关同类的为题通过此模型的推广来解决.九、 参考文献[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[第三版].北京：高等教育出版社，2006 [2] 赵东方，数学模型与计算，北京：科学出版社，2007 [3] 张宏伟，牛志广. LINGO8.0及其在环境系统优化中的应用.天津：天津大学出版社，2005[4]茆诗松 ， 程依明， 濮晓龙.概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，2009 [5]中国网，长期国库券利率期货./chinese/zhuanti/jrysc/509504.htm .2011.7.29。