假定在能带中能量为E~(E+dE)之间无限小的能量间隔 内有dZ个量子态，那么状态密度就为
g(E) dZ dE
3.4 状态密度
一维无限深势阱定义为：
V x 0, 0 x a
V x , x a, x 0
一维无限深势阱中，粒子的能 量E与波矢k有如下关系：
本章小结
能带的形成，能带的分类，E-k能带图 固体导电机理 电子有效质量、空穴 状态密度函数 费米分布函数 费米能级 玻尔兹曼近似 GaAs和Si的能带图，直接带隙和间接带隙半导体
不同温度下的费米分布函数特性
假设系统包括13个电子。 T=0K 时：
fF
(E
)

1

1 exp( E

EF
)
k0T
EF
当E<EF时，fF(E) =1；当E>EF时，fF(E) =0。 电子处在最低能量状态上， E<EF的量子态完全被占据， E>EF
的量子态被占据的可能性为零。
比费米能级高的能级上没有电子，费米能级低的能级上有电子 。绝对零度时的费米能级可看作量子态是否被电子占据的能量 界限。
kz
例如在y方向，两个量子态之 间的距离是
ky1 ky
ny
1

a
ny

a


a
ky
kx
因此相邻的8个量子态构成边长为π/a的立方体。
一个量子态所占的空间为：
Vk


a
3

在k空间中，以|k|为半径作一个球面，它就是能 量为E(k)的等能面。再以|k+dk|为半径作一个球 面，它就是能量为E(k+dk)的等能面。
要计算能量在E~(E+dE)之间的量子态数，只要计 算这两个球壳之间的量子态数即可。
两个球壳之间的体积为 1 4 k 2dk
kz
8
体积为a3的晶体中，E~(E+dE)之
间量子态数即为 2
8


3

dk

k 2dk 3
a3
ky
电子自旋 a
k
2mE
2
其中k只能分立取值为 k n / a
那么粒子的能量为：
E
2k2 = 2m
2n2 2
2ma2
n 1,2,3...
一维无限深势阱中的粒子的能量是分立的
推广到三维，考虑被束缚在三维无限深势阱中的粒子， 而这个势阱即代表晶体（电子不能飞出去）。无限深 势阱定义为
V x 0, 0 x a;0 y a;0 z a;
Ec EF k0T
Ec EF
EF Ev k0T
Ev
因导带中的电子主要分布在导带底，价带中的空穴主要 分布在价带顶
所以导带中的电子分布，及价带中的空穴分布可以用玻 尔兹曼分布函数描述。
服从玻尔兹曼分布的电子系统称为非简并系统，相 应的半导体称为非简并半导体；
服从费米 分布的电子系统称为简并系统，相应的 半导体称为简并半导体；
费米分布函数
电子的费米分布函数：
fF
(
E
)

1

1 exp( E

EF
)
k0T
EF 为费米能级 k0 为玻尔兹曼常数 T 为绝对温度
费米（Fermi）能级是费米分布函数的重要参数，确定了 费米能级即可确定电子在各个能态的分布几率。
费米能级就是系统的化学势，处于热平衡的系统具有统一 的化学势，也即具有统一的费米能级。
V x , others
假定晶体为边长为a的立方体。根据一维无限深势阱 的结果外推，可以得到：
2mE
2

k2

k
2 x

k
2 y

k
2 z

kx nx a

ky ny a
其中，nx、 ny 、nz为正整数。

kz nz a
k空间的量子状态
k空间中量子状态如图所示：
kx
半导体能带的状态密度

单位体积的量子态密度即为：
dZ

k2 3
dk
①
对于导带底，E-k关系曲线在k=0附近近似于抛物线
，因此有
E

Ec +
2k 2 2mn*
E

Ec =
2k 2 2mn*
自由电子 E 2k 2 2m
从而
k
2mn* E Ec
2
dk 1
mn dE
不同温度下的费米分布函数特性
T>0K 时：
fF
(
E
)

1

1 exp( E

EF
)
k0T
EF

如果令E=EF，T>0K，则
fF
(E)

1
1 exp(0)

1 2
因此，在E=EF时，量子态被占据的可能性为1/2。
E<EF时， fF(E)>1/2；E>EF时， fF(E)<1/2。
不同温度下的费米分布函数特性
状态为空的概率为：
1
fF (E)
1
1
1

exp

E
EF kT

0.01 1
1
1

exp

5.95 6.25 kT

其中kT=0.06529 eV，于是温度T=756 K。
费米-狄拉克分布的玻尔兹曼近似
当 E EF k0T 时
exp( E EF ) 1 k0T
考虑量子态密度g(E)是能量E的连续函数。 假设系统中的电子总数为N0，当T=0K时，电子在这
些量子态上的分布情况如图中虚线所示。
电子首先从低能级开始往上填充，最后使得费米能 级EF以下的能级全部填满，而EF以上的能级全部为 空。只要已知g(E)和N0 ，则可以很方便地确定费米 能级EF。
2E Ec
h / 2
将k和dk的表达式代入①式，化简可得
4
dZ
2mn 3/2 h3
E Ec dE
因此导带底电子的状态密度即为：
gc(E)

dZ dE

4
2mn h3
3/2
E Ec
同理，价带顶E-k关系也近似于一个抛物线，因此
E

Ev -
还与有效质量有关，有效质量 大的能带中的状态密度大。
例题
当T=300K时，确定硅中EC与EC+kT之间的能态总 数。
能态密度
4
gc(E)
2mn 3/2 h3
E Ec

能态总数
N
4 Ec kT

Ec
2mn 3/2 h3
E Ec dE
4
=
允许的量子态被载流子占据的几率如何分布： 概率分布函数f(E)
那么单位体积中载流子数目就可以写成
dN f (E)g(E)dE
那么总的的载流子浓度（第四章）
n f (E)gc (E)dE
3.4 状态密度（单位能量的量子态数）
在半导体的导带和价带中，有很多能级存在。但相邻 能级的间隔很小，约为10-22eV数量级，可以近似的认 为能级是连续的。因而可将能带分为一个个能量很小 的间隔来处理。
量子态被空状态（空穴）占据几率

fF(E)表示能量为E 的量子态被电子占据的几率，所 以1-fF(E) 就是能量为E的量子态被空穴占据的几率。
能量E增加，空穴的占有几率增加。

费米能级EF增加，空穴占有几率下降，电子填充水 平增加。
电子和空穴的分布几率相对费米能级是对称的。
例题
设某种材料的费米能级为6.25 eV，并且这种材料中 的电子符合费米-狄拉克分布函数。试计算在低于费 米能级0.30eV处，温度为何值时能态为空的概率是 1%。
从微观上讲，每个电子所具有的能量有大有小，但从 宏观上看，在热平衡状态下，多个电子按能量大小具 有一定的统计分布规律性。
根据量子统计理论，晶体中的电子服从泡利不相容原理 （每个量子态只允许存在一个微观粒子），遵循费米狄拉克统计规律，为：
fF
(E
)

1

1 exp( E

EF
)
k0T
fF(E)就称作费米－狄拉克统计分布函数，简称费 米分布，它反映的是能量为E的一个量子态被一个电 子占据的几率，而EF则称为费米能级。
所以：
1 exp( E EF ) exp( E EF )
k0T
k0T
则：
fF(E)
fB (E) exp(
E EF ) k0T
fB (E) 称为电子的玻尔兹曼分布函数
相应的，空穴的玻尔兹曼分布函数为
1
fB(E)

exp(
EF E ) k0T
对本征硅：
(EF )本征 Ei (Ei为禁带中心能级）EC
2mn 3/2 h3
2 3
E E 3/2 Ec kT
c
Ec
4 =
2 *1.08 * 9.1110-31 3/2 2
6.625 10-34 3
3
0.0259*1.6 10-19 3/2
=2.12 1025m-3 2.12 1019cm-3
3.5 统计力学 费米-狄拉克概率分布函数