直线的参数方程1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为56π，则直线l 的参数方程是____________．解析：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos 56π，y ＝－4＋t sin 56π(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝2－32t y ＝－4＋12t ，(t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝2－32t y ＝－4＋12t，(t 为参数)2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为____________．解析：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos5π6y ＝－1＋t sin 5π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1－32t y ＝－1＋12t ，(t 为参数)答案：⎩⎨⎧x ＝1－32t y ＝－1＋12t，(t 为参数)3.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6. 写出直线l 的参数方程；解：①直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t，(t 是参数)．4.已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6， 写出直线l 的参数方程. [解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t ，(t 为参数).2分5.已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，则直线l 的参数方程为____________．解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－22，sin α＝22. ∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22ty ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)6.已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋32ty ＝2＋12t，(t 为参数) , 求直线l 的倾斜角；解：(1)由于直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sinπ6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.7.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝3－32t，(t 为参数)，则此直线的斜率为( )A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎨⎧x ＝3＋⎝⎛⎭⎫－12（－t ）y ＝3＋32（－t ），(－t 为参数)．∴直线的斜率为－ 3.8.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝3＋6t(t 为参数)为参数方程的标准形式．解：由⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝3＋6t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋332＋（6）2（32＋（6）2 t ），y ＝3＋632＋（6）2（32＋（6）2 t ）.令t ′＝32＋（6）2 t ，得到直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝1＋155t ′y ＝3＋105t ′，(t ′为参数)． 9.化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t (t 为参数)为参数方程的标准形式．解：10.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.①写出直线l 的参数方程；②设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：①直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t，(t 是参数)．②把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入圆x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1，t 2是方程的根，t 1·t 2＝－2.∵A ，B 都在直线l 上，设它们对应的参数分别为t 1和t 2，∴|P A |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝2.11.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ，(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)曲线 C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝5＋32t ，(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.12.已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t y ＝3t ，(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4t y ＝3t，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85.答案：8513.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋22ty ＝22t，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫3＋22t 24＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝1， 整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝⎝⎛⎭⎫－2652＋85＝85，所以弦长AB 的长为85.14.已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．[解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t ，(t 为参数).2分由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ， 所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 得x 2＋y 2＝x ＋y ，即圆C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12.5分(2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t代入⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，得t 2＋12t －14＝0，7分 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1t 2＝－14，所以|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝14.10分15.(2016·高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.16.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0) ∴d ＝（2－5）2＋（－1－0）2＝10.17.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t ，(t为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ，直线⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )， 因为|MN |2＝|PM |·|PN |， 所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0， 故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0， 解得a ＝1或a ＝－4(舍去)． 故所求a 的值为1.18.已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝⎛⎭⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：5219.如图所示，已知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求： ①P ，M 间的距离|PM |；②点M 的坐标解：①由题意，知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t ，(t 为参数)．(*) ∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254. 由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516. ②因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.20.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． 解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α，所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，π当α＝2时，|AB|取得最小值2。