函数的奇偶性一、知识梳理:(阅读教材必修1第33页—第36页)1、 函数的奇偶性定义:2、 利用定义判断函数奇偶性的步骤(1) 首先确定函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2) 确定与的关系;(3) 作出相应结论3、 奇偶函数的性质:(1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;(3)为偶函数(4)若奇函数的定义域包含0,则(5)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响;(6)牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;(7)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:4、一些重要类型的奇偶函数(1)、f(x)= (a>0,a) 为偶函数;f(x)= (a>0,a) 为奇函数;(2)、f(x)=(3)、f(x)=(4)、f(x)=x+(5)、f(x)=g(|x|)为偶函数;二、题型探究[探究一]:判断函数的奇偶性例1:判断下列函数的奇偶性1. 【15年北京文科】下列函数中为偶函数的是( )A .2sin y x x =B .2cos y x x =C .ln y x =D .2x y -=【答案】B【解析】试题分析:根据偶函数的定义()()f x f x -=,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选B.考点:函数的奇偶性.2. 【15年广东文科】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A .2sin y x x =+B .2cos y x x =-C .122x xy =+D .sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】 试题分析:函数()2sin f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为()11sin1f =+,()1sin1f x -=-,所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数,也不是偶函数;函数()2cos f x x x =-的定义域为R ,关于原点对称,因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=,所以函数()2cos f x x x =-是偶函数;函数()122x xf x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=,所以函数()122x x f x =+是偶函数;函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-,所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数.故选A .考点:函数的奇偶性.3. 【15年福建文科】下列函数为奇函数的是( )A .y x =B .x y e =C .cos y x =D .x x y e e -=- 【答案】D【解析】试题分析:函数y x =和x y e =是非奇非偶函数; cos y x =是偶函数;x x y e e -=-是奇函数,故选D .考点:函数的奇偶性.[探究二]:应用函数的奇偶性解题例3、【2014高考湖南卷改编】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且1)()(23++=-x x x g x f ,则=+)1()1(g f ( )A. 3-B. 1-C. 1D. 3例4:已知函数f(x)=- - 若f(a)=b ,则f(-a) =三、方法提升1、 判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇偶性的定义经过化、整理、将f(x)与f-(x)比较,得出结论。
2、 利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题,转化到研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途径。
3、 函数的奇偶性常与函数的其它性质及不等式结合 出题,运用函数的奇偶性就是运用函数的对称性。
4、 要善于发现函数特征,图像特征,运用数形结合,定向转化,分类讨论思想,整体代换的手段,从而简化解决问题的程序,既快又准。
四、反思感悟五、课时作业1.【2014全国1高考改编】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .)()(x g x f 是偶函数B .)(|)(|x g x f 是奇函数C..|)(|)(x g x f 是奇函数 D .|)()(|x g x f 是奇函数2.设偶函数f (x )满足f (x )=x 3-8(x ≥0),则{x |f (x -2)>0}=( )A .{x |x <-2或x >4}B .{x |x <0或x >4}C .{x |x <0或x >6}D .{x |x <-2或x >2}解析:当x <0时,-x >0,∴f (-x )=(-x )3-8=-x 3-8,又f (x )是偶函数,∴f (x )=f (-x )=-x 3-8,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 3-8,x ≥0-x 3-8,x <0.∴f (x -2)=⎩⎪⎨⎪⎧ (x -2)3-8,x ≥2-(x -2)3-8,x <2, ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x -2)3-8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2-(x -2)3-8>0,解得x >4或x <0.故选B.答案:B3.定义在R 上的函数f (x )满足:对于任意α,β∈R,总有f (α+β)-[f (α)+f (β)]=2010,则下列说法正确的是( )A .f (x )-1是奇函数B .f (x )+1是奇函数C .f (x )-2010是奇函数D .f (x )+2010是奇函数解析:依题意,取α=β=0,得f (0)=-2010;取α=x ,β=-x ,得f (0)-f (x )-f (-x )=2010,f (-x )+2010=-[f (x )-f (0)]=-[f (x )+2010],因此函数f (x )+2010是奇函数,选D.答案:D4、设函数f (x )=x (e x +a e -x)(x ∈R)是偶函数,则实数a 的值为________.解析:设g (x )=x ,h (x )=e x +a e -x ,因为函数g (x )=x 是奇函数,则由题意知,函数h (x )=e x +a e -x 为奇函数,又函数f (x )的定义域为R ,∴h (0)=0,解得a =-1.答案:-15.已知函数f (x +1)是奇函数,f (x -1)是偶函数,且f (0)=2,则f (4)=________.解析:依题意有f (-x +1)=-f (x +1),f (-x -1)=f (x -1),所以f (4)=f (-(-3)+1)=-f (-2)=-f (-1-1)=-f (0)=-2.答案:-26.对于定义在R 上的函数f (x ),有下述四个命题,其中正确命题的序号为________①若f (x )是奇函数,则f (x -1)的图象关于点A (1,0)对称;②若对x ∈R,有f (x +1)=f (x -1),则y =f (x )的图象关于直线x =1对称;③若函数f (x -1)的图象关于直线x =1对称,则f (x )为偶函数;④函数y =f (1+x )与函数y =f (1-x )的图象关于直线x =1对称.解析:f (x -1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位而得到,又f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,所以f (x -1)的图象关于点A (1,0)对称,故①正确;由f (x +1)=f (x -1)可知f (x )的周期为2,无法判断其对称轴,故②错误;f (x -1)的图象关于直线x =1对称,则f (x )关于y 轴对称,故f (x )为偶函数,③正确; y =f (1+x )的图象是由y =f (x )的图象向左平移一个单位后得到,y =f (1-x )是由y =f (x )的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到,两者图象关于y 轴对称,故④错误.答案:①③7.已知定义域为R 的函数f (x )=-2x+b 2x +1+a是奇函数. (1)求a 、b 的值;(2)若对任意的t ∈R,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围. 分析:(1)由f (0)=0可求得b ,再由特殊值或奇函数定义求得a ;(2)先分析函数f (x )的单调性,根据单调性去掉函数符号f ,然后用判别式解决恒成立问题.解:(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,即b -1a +2=0⇒b =1,所以f (x )=1-2x a +2x +1, 又由f (1)=-f (-1)知1-2a +4=-1-12a +1⇒a =2. (2)由(1)知f (x )=1-2x2+2x +1=-12+12x +1, 易知f (x )在(-∞,+∞)上为减函数.又因f (x )是奇函数,从而不等式: f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k -2t 2),因f (x )为减函数,由上式推得:t 2-2t >k -2t 2,即对t ∈R 有:3t 2-2t -k >0,从而Δ=4+12k <0⇒k <-13. 8.【2013师大附中精典题库】设函数f (x )的定义域为R ,对于任意的实数x ,y ,都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时,f (x )<0,求证:(1)f (x )为奇函数;(2)f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.证明:(1)令x =y =0,得f (0)=f (0)+f (0),∴f (0)=0.再令y =-x ,得f (0)=f (x )+f (-x ),∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.(2)设x 1、x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,∵当x >0时,f (x )<0,∴f (x 2-x 1)<0.又∵对于任意的实数x ,y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )且f (x )为奇函数,∴f (x 2-x 1)=f [x 2+(-x 1)]=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∴f (x 2)-f (x 1)<0,∴f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.。