11:21
σξ
19
由式（2-17）可知， ξ = ∞, Z = ∞ − ξ = ∞ σξ
0−ξ ξ
S−s
ξ =0
Z= σξ
=− σξ
=−
1
(σ
2 S
+
σ
2 s
)
2
当已知Z值时，可按标准正态分布面积表查出可靠度R(t) 值。因此，上式实际上把应力分布参数、强度分布参数和 可靠度三者联系起来，所以称为联结方程，这是一个非常 重要的方程。
11
x = a 若强度为某一固定值，设
，则
∞
∫ PF = P( y > a) = a g( y)dy = 1 − Gy (a)
R = Gy (a)
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12
(2)由两个随机变量差 Z 的联合概率密度函数h(z)
计算失效概率或可靠度
因强度 X 应力 Y 均为随机变量，则 Z = X − Y 也为随机变量，称为干涉随机变量。因
当应力、强度服从不同的分布时，其可 靠度的具体计算公式也不同，下面介绍 几种常用分布时的可靠度计算公式。
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15
二、应力与强度为同一分布类型时的可靠度
1.正态分布
应力分布
N(
µy
,σ
2 y
)
强度分布
N(
µx
,σ
2 x
)
可靠度 R = Φ(uR ) 可查标准正态分布表
uR =
µx − µy
σ
2 x
X 、Y 彼此独立，根据概率论中的
两个随机变量差的联合概率密度函数的卷积定理，可得
Z 的概率密度函数为
∞
∫ h(z) = f (z + y)g( y)dy −∞
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13
、设 X Y 的取值均为正值，即其分布区间为 (0, ∞)
由 x = z + y ≥ 0 可得
y ≥ −z
所以
Y 的取值应同时满足 y ≥ 0 和 y ≥ −z
R
=1−
Φ(− µx σx
)
− [1 −
Φ(−
µx
− λyσ σx
2 x
)]exp(−µ xλy
+
1 2
λ2yσ
2 x
)
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29
四、用数值积分法求可靠度
当应力、强度分布函数较复杂时，很难用上面介 绍的解析法求得可靠度的计算表达式，这时可用数值 积分法。
)
∫ 可靠度
R = 1 − Φ(A) − C
∞ exp[−z mx
−
(Cz
+
A) 2 ]dz
2π 0
2
式中
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z = (x −γ y) ηy
A = γ − µx σx
C = ηy σx
28
三、应力与强度的分布类型不同时的可靠度
应力分布 指数分布
λy
强度分布 可靠度
正态分布
N(
µx
,σ
2 x
)
= P(y > x) =
f (x)[
−∞
x
g( y)dy]dx
也可以写成如下形式
∞
∞
∫ ∫ PF = −∞ f (x)[1 − Gy (x)]dx = 1 − −∞ f (x)Gy (x)dx
∫ ∫ 对应的可靠度为 R = P( y ≤ x) =
∞
x
f (x)[
g( y)dy]dx
−∞
−∞
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干涉现象：应力、强 度两条概率密度函 数曲线在一定的条 件下发生相交（也 称为发生干涉）的 现象。
干涉区 ：相互重叠的
区域，是零件可能 出现失效的区域，
可能会出现
1一t =0时的强度分布 2—t =0时的应力分布
3—强度均值的退化曲线
4—t
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=t0时的强度分布
5—t =t0时的应力分布 5
干涉区中可能会出现 X ≤ Y 是零件可能出现失效的区域
式中 其中Bi见表
ξi
=
1
−
η exp{−[
x
ηy
B1/ mx i
+
Байду номын сангаас
γx −γy ηy
]my }
i
Bi
i
Bi
1 0.895795505 5 2.286054858
2 0.524726255 6 0.107214189
3 1.488709147 7 3.919295813
4 0.270803710 8 0.020054832
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8
(1)由概率乘法定理计算失效概率或可靠度
在干涉区取小区间 dy 则应力y 在 dy内的概率为
dy
dy
P( y1 − 2 ≤ y ≤ y1 + 2 ) = g( y1)dy
x 强度 小于应力 y1
的概率为
干涉区的放大图形
∫ P(x < y1) =
y1 f (x)dx
−∞
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9
因这两者是相互独立的随机事件，故由概率乘法定理可
由于 f (S) 和 f (s) 都为正态分布,所以根据概率统计 理论， f (ξ ) 也为正态分布函数,表示为:
式中: ξ = S − s
1
σξ
=
(σ
2 S
+
σ
2 s
)
2
f (ξ ) =
1
− 1 (ξ −ξ )2
e 2 σξ
σ ξ 2π
可靠度是 ξ 为正值时概率，如图5-5所示，可以表示
为
( ) ( ) ∫ ∫ ∞
1
R t = P ξ > 0 = f (ξ )dξ =
e dξ ∞
− 1 (ξ −ξ )2 2 σξ
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0
σξ 2π 0
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由图5-5可知，如将 f (ξ ) 化为标准正态分布 φ(Z) ，则有
R(
t
)
=
∞
∫0
f
(ξ
)dξ
=
∞
∫z φ(Z)dZ
z2
Φ (Z ) =
1
−
e2
式中:
2π
Z = ξ −ξ
+σ
2 y
联结系数
联结方程
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16
应力和强度分布都为正态分布时的可靠度计算
当应力和强度分布都为正态分布时，可靠度的计算大大简 化。可以用这里介绍的联结方程先求出联结系数z，然后利用标 准正态分布面积表求出可靠度。
呈正态分布的应力和强度概率密度函数分别为:
f (s) =
1
σ s 2π
− 1 ( s− s )2
X = fX (X1, X2,⋯, Xm) Y = gY (Y1,Y2 ,⋯,Yn )
式中,
为影响强度的随机量，如零件
X i 材料性能、表面质量、尺寸效
应、材料对缺口的敏感性等；
Y 为影响应力的随机量，如载 i 荷情况、应力集中、工作温 度、润滑状态等。
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4
由于应力、强度具有相同的量纲，故可以表 示在同一坐标系中。应力-强度干涉模型如图所示。
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26
二、应力与强度为同一分布类型时的可靠度
4.指数分布
应力分布 λ y
强度分布 λx
可靠度 或
R = λy λy + λx
R = µx µx + µy
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27
三、应力与强度的分布类型不同时的可靠度
应力分布 威布尔分布 (my ,η y ,γ y )
强度分布 正态分布
N(
µx
,σ
2 x
当
z ≥ 0 时，应取 y ≥ 0
则 当
∞
h(z) = ∫0 f (z + y)g( y)dy
z < 时0 ，应取 y ≥ −z
则
∞
∫ h(z) = f (z + y)g( y)dy −z
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z ≥ 0 的概率是可靠度 R
∞
∞∞
R = ∫0 h(z)dz = ∫0 ∫0 f (z + y)g( y)dzdy
PF = −∞ Fx ( y)g( y)dy
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10
y
∞
因 R = 1− P且F
∫ ∫ f (x)dx +
−∞
y
f (x)dx，=故1 对应的可靠度为
∞
∞
∫ ∫ R = P(x ≥ y) = g( y)[ f (x)dx]dy
−∞
y
反之， PF也可以根据 y > x的概率来计算。
∞
∞
∫ ∫ PF
II. 基于应力—强度干涉 模型的可靠性设计
一、 应力一强度分布干涉理论
载荷统计和 概率分布
几何尺寸分布和 其它随机因素
材料机械性能统 计和概率分布
应力计算
强度计算
机械强度可靠性设计过程框图
应力统计和 概率分布
干涉模型
强度统计和 概率分布
机械强度可靠性设计
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2
1.应力-强度干涉模型
一般而言，施加于产品或零件上的物理量，如应力、 压力、温度、湿度、冲击、电压等等，统称为产品 或零件所受的应力，用 Y 表示
Z称为联结系数，也称为可靠性系数，或安全指数。进
行可靠性设计时，往往先规定目标可靠度；这时，可由标
准正态分布表查出联结系数z，再利用上式求出所需要的
设计参数，如尺寸等。通过这些步骤，实现了“把可靠度
1直1:21接设计到零件中去”。