应用数理统计复习题一、填空题1.设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，样本均值及样本方差分别为，221111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，设112,,...n n X X X X +与独立同分布，则统计量~Y =。

2.设21~(),~T t n T 则。

3.设总体X 的均值为μ，12,,...,n X X X 为样本，当a = 时，E 21()nii Xa =-∑达到最小值。

4. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，1||,()nii D XE D μ==-=∑则5.设总体X 的均值和方差分别为a , b , 样本均值及样本方差分别为221111,()n n i i i i X X S X X n n ====-∑∑，则 E (S 2 )= 。

6.在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则均值 X 落在4与6之间的概率 =6. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，1.9，2，2，2.1， 2.5为样本，则λ的矩估计值为ˆλ＝ 。

7. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，12211ˆ()n i i i c XX σ-+==-∑，若2ˆσ为2σ的无偏估计，则 c = 。

8. 设总体12~(,1),,,...,n X U X X X θθ+为样本，则θ的矩估计量为 ，极大似然估计量为 。

9. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ未知，σ2已知，为使μ的置信度为1－α的置信区间长度不超过L ，则需抽取的样本的容量n 至少为 。

10. 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ为样本，μ、σ2未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。

11设X 服从二维正态),(2∑μN 分布，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8221,10μ令Y ＝X Y Y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛202121，则Y 的分布为 (要求写出分布的参数) 12. 设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ ；=)ˆ(θD 。

13. 设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ均未知，05.0=α. 则μ的置信度为α-1的置信区间为 ；若μ为已知常数，则检验假设,::20212020σσσσ<↔≥H H （20σ已知），的拒绝域为 。

14．设X 服从p 维正态),(∑μp N 分布，是来自n X X X ,,,21 X 的样本，则∑的最小方差无偏估计量=∑ˆ ；μ-X 服从 分布。

15设（X 1，…，X n ）为来自正态总体),(~∑μp N X 的一个样本,∑已知。

对给定的检验水平为α，检验假设0100::μμμμ≠↔=H H ，（0μ已知）的统计量为 拒绝域为 。

16．某试验的极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表1 因素水平表表2 极差分析数据表则（1）较好工艺条件应为。

（2）方差分析中总离差平方和的自由度为。

（3）上表中的第三列表示。

17．为了估计山上积雪溶化后对河流下游灌溉的影响，在山上建立观测站，测得连续10年的观测数据如下表（见表3）。

表3 最大积雪深度与灌溉面积的10年观测数据则y关于x的线性回归模型为二、简述题1.检验的显著性水平及检验的p值。

2.参数的点估计的类型、方法、评价方法。

3.假设检验的思想、推理依据及参数假设检验的步骤。

4.方差分析的目的及思想（结合单因素）。

5.简述正交实验设计中的数据分析方法 6主成分分析。

7.典型相关分析。

8.贝叶斯判别法。

9.聚类，分类。

10.线性回归分析的主要内容及应用中注意的问题。

11.系统聚类法的算法思想及步骤。

12.如何看待多元统计方法在实际数据处理中的作用与地位。

三、计算及证明题1.设总体X 的概率密度为1,0(,)00x x e x f x x αλαλλ--⎧>=⎨≤⎩，其中λ>0是未知参数，α>0是已知常数，12,,...,n X X X 为样本，求λ的矩估计和极大似然估计。

2. 设总体X 的概率密度为22(),0(,)0x x f x θθθθ-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ>0是未知参数，12,,...,n X X X 为样本，求1）θ极大似然估计，2）总体均值μ的极大似然估计。

3. 设总体X 的概率密度为233,0(,)0x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，其中θ>0是未知参数， 12,X X 为样本。

1）证明：11221227(),(,)36T X X T max X X =+=都是θ的无偏估计。

2）比较12,T T 的有效性。

4. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布,对于假设01:0.5,:2H H λλ==，0H 的拒绝域为12{3}D X X =+≥，试求此检验问题犯第一类错误（弃真）及犯第二类错误（取伪）的概率。

5.考虑一元线性回归模型： 01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从2(0,)N σ分布，求参数01,ββ的极大似然估计，并证明它们是无偏估计。

6. 考虑一元线性回归模型：01,1,2,..i i i Y X i n ββε=++=，其中i ε相互独立且服从2(0,)N σ分布，记11122121ˆˆ{...,,...,}/n nnA c Y c Y c Y c c c E βββ==+++=为常数，且，求A 中使得1ˆ()D β最小的1ˆβ 7. 某种产品在生产时产生的有害物质的重量（单位：克）Y 与它的燃料消耗量（单位：千① 求经验线性回归方程；② 试进行线性回归的显著性检验（01.0=α）； ③ 试求x 0=340时Y 0的预测区间（05.0=α）. ④若要求有害物质的重量在250～280um 之间，问燃料消耗量应如何控制？（05.0=α） 8在某锌矿的南北两支矿脉中，各抽取样本容量分别为10与9的样本分析后， 算得其样本含锌（%）平均值及方差如下： 南支：1x =0.252，21S =0.140，1n =10 北支：2x =0.281，22S =0.182，2n =9若南北两支锌含量均服从正态分布，且两样本相互独立，在α=0.05的条件下， 问南北两支矿脉含锌量的平均值是否有显著差异？已知：2439.0)8,9(975.0=F ，3572.4)8,9(025.0=F ，1098.2)17(025.0=t9设由一组观测数据(,)1,2,,i i x y i n =，，计算得到150,200x y ==，25,75xx xy l l ==，求y 对x 的线性回归方程。

10设有三台机器A 、B 、C 制造同一种产品。

对每台机器观察5天的日产量。

记录如下（单位：件） A ： 41，48， 41， 57， 49 B ： 65，57， 54 ，72， 64 C ： 45，51， 48， 56， 48 试问：在日产量上各台机器之间是否有显著差异？（05.0=α）， 已知：79.3)12,2(05.0=F11设),(i i x Y 满足线性模型 i i i x x Y εββ+-+=)(10， ),0(~2σεN i ，n i ,2,1=，∑==ni i X n x 11，诸i ε相互独立。

试求（1）参数T ),(10βββ=的最小二乘估计T )ˆ,ˆ(ˆ10βββ=； （2）10ˆ,ˆββ的方差；（3）2σ的无偏估计。

12单因素方差分析的数学模型为i j i j i i j i n j r i N X ,...,2,1;,...,2,1),,0(~,2==+=σεεμ，n n i ni =∑=1。

诸j i ε相互独立。

（1）试导出检验假设r r H H μμμμμμ,...,,::211210↔=== 中至少由两个不相等的统计量。

（2）求2σ的一个无偏估计量。

（3）设μμμμ====r 21，∑==in j ji i i Xn X 11，求常数C 使统计量∑=-=ri i X C 1||ˆμσ为σ的无偏估计.13车间里有5名工人，3台不同型号的机器生产同一种产品，现在让每个工人轮流在3台机试问这5位工人技术之间和不同型号机器之间对产量有无显著影响？)84.3)8,4(,46.4)8,2(,05.0(05.005.0===F F α14设有线性模型77665544332211332εεεεεεε+-=++=+-=++=+-=+-=++=b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y b a Y其中7654321,,,,,,εεεεεεε相互独立且同服从正态),0(2σN 分布，（1）试求的最小二b a ,乘估计量b aˆ,ˆ； （2）试求b a Yˆ5ˆˆ+=的概率分布。

15某数理统计教师随机地选取18名学生把他们分为3组，每一组各采用一种特殊的教学方假设学生成绩服从正态分布，试问：在显著水平05.0=α下这三种教学方法的教学效果有无显著差异？哪种教学效果最好？注：70.2)15,2(05.0=F（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。