1.2.1 函数的概念
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列四个方程中表示y 是x 的函数的是( ) ①x －2y ＝6 ②x 2＋y ＝1 ③x ＋y 2＝1 ④x ＝y A ．①② B ．①④ C ．③④
D ．①②④
解析：对于①，得y ＝1
2x －3，y 是x 的一次函数；
对于②，得y ＝1－x 2，y 是x 的二次函数；
对于③，得y 2＝1－x ，当x ＝－3时，y 1＝2，y 2＝－2，y 不是x 的函数； 对于④，得y ＝x 2(x ≥0)，y 是x 的二次函数． 答案：D
2．下列四组式子中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4 B ．f (x )＝x ，g (x )＝3
x 3 C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 D ．f (x )＝x 2－4
x ＋2
，g (x )＝x －2
解析：A 、C 、D 定义域不同，B 定义域、对应关系、值域都相同． 答案：B
3．函数y ＝4－x 2
x －1的定义域为( )
A ．[－2,2]
B ．[－2,2)
C ．[－2,1)∪(1,2]
D ．(－2,1)∪(1,2)
解析：解不等式组⎩⎨⎧
4－x 2≥0，
x －1≠0，
解得[－2,1)∪(1,2]．
答案：C
4．若g (x )＝1－2x, f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (1
2)的值为( )
A ．1
B ．15
C ．4
D ．30
解析：方法一：由f [g (x )]＝1－x 2x 2，得f (1－2x )＝1
x 2－1.
设1－2x ＝t ，则x ＝1－t
2，
∴f (t )＝41－t 2－1.
∴f (12
)＝
41－12
2－1＝15.
方法二：令g (x )＝1－2x ＝1
2，
∴x ＝14.∴f (1
2)＝1－1161
16＝15.
答案：B
5．函数f (x )的定义域是[0,3]，则f (2x －1)的定义域是( ) A ．[1
2，2]
B ．[0,3]
C ．[－1,5]
D ．(1
2
，2)
解析：由f (x )定义域为[0,3]知，0≤2x －1≤3，即1
2≤x ≤2.
答案：A
6．已知集合A ＝{x |x ≥4}，g (x )＝1
1－x ＋a
的定义域为B ，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值
范围是( )
A ．(－2,4)
B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，3)
D ．(－∞，3]
解析：g (x )的定义域B ＝{x |x <a ＋1}， 由于A ∩B ＝∅，
画数轴
易得a ＋1≤4，即a ≤3，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．解析：由题知a<3a－1，解得a>1
2.
答案：{a|a>1
2}
8．若f(x)＝ax2－2，且f[f(2)]＝－2，则a＝________. 解析：∵f(2)＝2a－2，
∴f[f(2)]＝a(2a－2)2－2＝－ 2.
∴a＝0或
2 2.
答案：0或2
2
9．如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则f2
f1
＋f4
f3
＋f6
f5
＋…＋f2010
f2009
＝
________.
解析：∵f(a＋b)＝f(a)·f(b)，
∴f2
f1
＝f1·f1
f1
＝f(1)＝2，
f4 f3＝f3·f1
f3
＝f(1)＝2，…，
f2010 f2009＝f2009·f1
f2009
＝f(1)＝2.
∴f2
f1
＋f4
f3
＋f6
f5
＋…＋f2010
f2009
＝2＋2＋ (2)
＝2010.
答案：2010
三、解答题(共计40分)
10．(10分)已知全集U＝R，函数y＝x－2＋x＋1的定义域为A，函数y＝2x＋4 x－3
的
定义域为B.
(1)求集合A，B；
(2)求(∁U A)∪(∁U B)．
解：(1)函数y ＝x －2＋x ＋1应满足⎩
⎨⎧
x －2≥0，
x ＋1≥0，
∴x ≥2. ∴A ＝{x |x ≥2}．
函数y ＝2x ＋4x －3应满足⎩⎨⎧
2x ＋4≥0，
x －3≠0，
∴x ≥－2，且x ≠3. ∴B ＝{x |x ≥－2，且x ≠3}．
(2)∁U A ＝{x |x <2}，∁U B ＝{x |x <－2，或x ＝3}， ∴(∁U A )∪(∁U B )＝{x |x <2，或x ＝3}．
11．(15分)已知f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝1
4(x 2＋3)，若g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，求a 的值．
解：∵f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝1
4(x 2＋3)，
∴g (f (x ))＝g (2x ＋a ) ＝1
4[(2x ＋a )2＋3] ＝x 2＋ax ＋1
4(a 2＋3)．
又g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，
∴x 2＋ax ＋1
4(a 2＋3)＝x 2＋x ＋1，
解得a ＝1. [创新应用]
12．(15分)已知函数f (x )＝x 2
1＋x 2.
(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (1
3
)；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f (1
x )有什么关系？并证明你的发现；
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (1
2011)．
解：(1)∵f (x )＝x 2
1＋x 2，
∴f (2)＝1＋＝4
5
，
f (12
)＝122
1＋
12
2
＝15， f (3)＝321＋32＝9
10，
f (13
)＝132
1＋
13
2
＝
110
. (2)由(1)发现f (x )＋f (1
x )＝1.
证明如下： f (x )＋f (1x )＝x 2
1＋x 2
＋
1x 2
1＋
1x
2
＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)f (1)＝121＋12＝1
2.
由(2)知f (2)＋f (1
2)＝1，
f (3)＋f (1
3)＝1，…，
f (2011)＋f (1
2011
)＝1，
∴原式＝1
2＋
＝2010＋12＝4021
2
.。