第一章 集合与函数概念一、选择题.1. 设 A =｛a ｝，则下列各式中正确的是（ ） A. 0∈AB. a ∈AC.a ∈AD. a = A2. 设集合 A =｛x |x = a 2+１，a ∈N +｝，B =｛y |y = b 2- 4b + 5，b ∈N +｝，则下述关系中正确的是（ ）A . A = BB. ABC. A⊇BD. A ∩B =∅3. 如图，阴影部分可用集合 M ，P 表示为（ ） A. M ∩ P B. M ∪PC.（ＵM ）∩（ＵP ）D.（ＵM ）∪（ＵP ）4. 若集合 A ，B ，C 满足 A ∩B = A ，B ∪C = C ，则 A 与 C 之间的关系必定是（ ） A. AC B. CA C. A ⊆C D. C ⊆A5. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. )(x f = |x |，2)(t t g = B. 2)(x x f =，2)()(x x g =C. 11)(2--=x x x f ，1)(+=x x gD. 11)(-⋅+=x x x f ，1)(2-=x x g6. 若函数)(x f的定义域为 [1，2]，则函数 )(2x f y = 的定义域为（ ） A. [1，4]B. [1，2]C. [2-，2]D. [2-，-1]∪[1，2]7. 函数 111--=x y 的图象是（ ）A B第 3 题C D8. 若二次函数y = x 2+ bx + c 的图象的对称轴是 x = 2，则有（ ） A. f (1)＜f (2)＜f (4) B. f (2)＜f (1)＜f (4) C. f (2)＜f (4)＜f (1)D. f (4)＜f (2)＜f (1)9. 如果奇函数 f (x )在区间［3，7］上是增函数且最小值是 5，那么函数 f (x )在区间 ［-7，-3］上（ ）A. 是增函数且最小值为 -5B. 是增函数且最大值是 -5C. 是减函数且最小值为 -5D. 是减函数且最大值是 -510. 已知函数f (x )= x 5+ ax 3+ bx - 3，且 f (2) = 2，则 f (-2) =（ ） A. -6 B. -8 C. -2 D. 6二、填空题.1. 若B =｛a ，b ，c ，d ，e ｝，C = {a ，c ，e ，f }，且集合 A 满足 A ⊆B ，A ⊆C ，则集合 A 的个数是＿＿＿＿＿＿.2. 设 f (x )= 2x - 1，g (x )= x + 1，则 f[g (x )] = .3. 已知f (2x + 1)= x 2- 2x ，则=)2(f .4. 已知一次函数 y = f (x )中，f (8)= 16，f (2)+ f (3)= f (5)，则 f (1)+ f (2)+f (3)+ ···+ f (100) = .5. 若函数ax bx x f ++=2)(为奇函数，则 a = ，b = . 6. 若函数 f (x )= x 2+ px + 3在(-∞，1]上单调递减，则 p 的取值范围是 . 三、解答题.1. 已知非空集合 A =｛x ｜2a + 1≤x ≤3a - 5｝，B =｛x ｜3≤x ≤22｝，能使 A ⊆(A ∩B )成立的所有 a 值的集合是什么？2. 设 A ={y |y = x + 2}，B = {y |y = x 2}，求A ∩B ，A ∪B . 3. 证明函数 f (x )= x 3在 R 上是增函数. 4. 已知函数xx x f 1)(+=， （1）求函数 f (x )的定义域、值域；（2）判断函数 f (x )的奇偶性，并画出函数 f (x )的简图； （3）求出函数 f (x )的单调区间； （4）求函数11)(++=x x x g （x ≥2）的最小值.参考答案一、选择题. 1. B 2. B【解析】∵ A = {x |x = a 2+ 1，a ∈N +}B = {y |y =（b - 2）2 + 1，b ∈N +} = {y |y = c 2 + 1，c ∈N }，∴ A B . 3. C 4. C【解析】∵ A ∩B = A ， ∴ A ⊆B . ∵ B ∪C = C ， ∴ B ⊆C . ∴ A ⊆C . 5. A【解析】B ：f (x ) = |x |（x ∈R ），g (x ) = x （x ≥0），所以定义域不同. C ：f (x ) = x + 1（x ≠1），g (x ) = x + 1（x ∈R ），所以定义域不同.D ：f (x ) =12-x （x ≥1），g (x ) =12-x （x ≥1，或 x ≤-1），所以定义域不同. 6. D【解析】∵ 1≤x 2≤2， ∴ -2≤x ≤-1，或 1≤x ≤2. 7. B【解析】由于 x ≠1， ∴ C ，D 错.代入 x = 0，有 y = 2. 8. B【解析】∵ 对称轴 x = 2，且函数图象开口向上，∴ 离轴越远的自变量对应的函数值越大. ∴ f (2)＜f (1)＜f (4) 9. B【解析】∵ 函数 f (x )是奇函数且在区间[3，7]上是增函数， ∴ f (-7)= -f (7)＜-f (3)= f (-3).∴ 函数 f (x )在[-7，-3]上是增函数，且最大值为 -5. 10. B【解析】∵ f (2)= 25+ a ×23+ 2b - 3 = 2， ∴ 25+ 23· a + 2b = 5. ∴ f (-2)= -(25+ 23· a + 2b )- 3= -5 - 3 = -8. 二、填空题.1. 【解析】∵ A ⊆B ，A ⊆C ， ∴ A ⊆(B ∩C ). ∴ A ⊆{a ，c ，e }.∴ 集合 A 的个数是 23= 8.2. 【解析】f [ g (x )]= f (x + 1)= 2(x + 1)- 1 = 2x + 1.3. 【解析】令 2x + 1 =2， ∴ 212-=x . ∴ 2122212)2(2-⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=f =4267124223-=+--. 4. 【解析】∵ f (2)+ f (3)= f (5)， ∴ f (x )= kx. ∴ f (8)= 16， ∴ k = 2. ∴ f (x )= 2x .∴ f (1)+ f (3)+ ··· + f （100） = 2 + 4 + ··· + 200 = 10 100.5. 【解析】∵ f (1)= - f (-1)，f (2)= - f (-2)，∴1212---=++a ba b ， 222222---=++a ba b . 解得 a = b = 0.6. 【解析】∵ 对称轴为 x = -2p， ∴ -2p≥1， ∴ p ≤-2. 三、解答题.1. 【解】∵ A ⊆(A ∩B )， ∴ A ⊆B .2a + 1≥3，3a - 5≤22，2a + 1≤3a - 5. ∴解得 6≤a ≤9.2. 【解】A = R ，B ={y |y ≥0}， ∴ B B A = ，A B A = .3. 证明：任取x 1，x 2∈R，且 x 1<x 2.∴ )()(12x f x f -))((222121123132x x x x x x x x ++-=-=. ∵ x 2＞x 1， ∴ x 2 - x 1＞0，且 2222122212143)21(x x x x x x x ++=++＞0. ∴ )()(12x f x f -＞0. ∴ )(2x f ＞)(1x f .∴ 函数f (x )在 R 上为增函数.4. 【解】（1）易知函数 f (x )定义域为 x ≠0.① 当 x ＞0 时，f (x )= x +x1≥2； 当 x ＜0 时，f (x )= x +x1≤-2. ∴ 函数 f (x )的值域为(-∞，-2] [2，+∞). （2）∵ f (-x )= -x -)(11x f x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=， ∴ 函数 f (x )为奇函数. 函数 f (x )的简图如下：（3）因为函数 f (x )为奇函数，所以我们只需考查其在(0，+∞)上的单调性即可. 取 x 1，x 2∈(0，+∞)，且 x 1＜x 2. ∴ f (x 1)- f (x 2) = x 1 +11x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221 x x =(x 1 - x 2)+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2112x x x x=(x 1 - x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111x x=(x 1 - x 2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21211x x x x .若 x 1，x 2∈[1，+∞)，且 x 1＜x 2， ∴ x 1 - x 2＜0，x 1 x 2＞0，x 1 x 2 - 1＞0. ∴ f (x 1)- f (x 2)＜0. ∴ f (x 1)＜ f (x 2).∴ 函数 f (x )在[1，+∞)为增函数. ∴ 函数 f (x )的增区间为[1，+∞). 同理得函数 f (x )的减区间为(0，1). ∵ 函数 f (x )为奇函数，∴ 函数 f (x )的递增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)；函数 f (x )的递减区间为(-1，0)，(0，1).（4）g （x ）=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++11 1 x x - 1，令 x + 1 = t .∵ x ≥2， ∴ t ≥3. ∴ y = t +t1- 1（t ≥3). ∵ 函数 y 在[3，+∞)为增函数 ∴ 当 t = 3 时，y min =37. 即当 x = 2 时，g min (x ) =37.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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