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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
其次考虑瞬时描述及其变化 。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
q
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
引理5-1 设C是∑(T)*上图灵可实现的编 码，则存在图灵机T，∑(T)={a}，T完 成译码：∀a ∈ N ，T (ax) = C-1(x)。 定理5-10 部分递归函数都是图灵可计算 的函数。
定义5-3 设f、h是n+1元、n元函数，且f 全函数，函数h的定义为 y = h(x1,x2, … ,xn) = min{z | f (x1,x2, … ,xn , z)=0} Z≥0 则称函数h是取极小算子作用于函数f的结 果。
5
5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
定义5-4 函数 f (x1,x2, … ,xn+1 ) 是正则 函数，若对于任何x1,x2, … ,xn，恒存在z （z≥0），使得 f (x1,x2, … ,xn,z )=0
第5章 递归函数
杨 莹
1
第5章 递归函数
5.1 函数的复合算子、递归算子、取极小值 算子 5.2 原始递归函数 5.3 原始递归谓词和原始递归集合 5.4 部分递归函数及其与图灵机的等价性
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5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
定义5-1 设f是m元函数，g1,g2, … ,gm是n元 函数，函数h定义为 y=h(x1,x2, … ,xn)=f(g1(x1,x2, … ,xn), g2(x1,x2, … ,xn) , …, gm(x1,x2, … ,xn)) 则称函数h是函数f和g1,g2, … ,gm的复合函数， 记为h = f•( g1, g2,…, gm)。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
状态转移函数表示为 δ(q,a) = (q(q,a), char(q,a), d(q,a)) 其中q(q,a) , char(q,a), d(q,a) 都是有限点有定 义的函数。现将它们扩充为全函数。 若对于q,a无定义，则 δ(q,a)=2，char(q, a) = a，d(q,a)=S。易见扩充后，它们都是原始递 归的。
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5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
定义5-2 设g、h、f分别是n元、n+1元、n+2 元函数，函数h的定义为
则称函数h是原始递归于g、f的原始递归函数。 又称h是依据z用原始递归运算得到的，z是递 归变量，x1,x2, … ,xn是原始递归参数。
4
5.1 函数的复合算子、递归算子、取 极小值算子
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等价性
定理5-9 图灵机计算的函数是部分递归函数。
证明：首先将这个过程用数字编码。 若|Г|=l，设Г ={0,1,…,l-1}。 n C(c0c1…ck)= ∑ c li
i=0 i
Q(T)={0,1,2,…,k-1}， 其中0表示初始状态，1表示接受状态，2是一新补的特殊的状 态：永不停机，即当在原T中，(q, a)无定义时，进入2状态。
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
定理5-11 对任意正整数n，都存在n+1元部 分递归函数φ(x1,x2,…,xn,y)，使得对于任意一 个n 元部分递归函数f(x1,x2,…,xn)，都存在一 个自然数e，满足 f(x1,x2,…,xn) = φ(x1,x2,…,xn,e)
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定理5-5 设S和R是原始递归集合，则R∩S、 R∪S、 S 也是原始递归集合。 定理5-6 设P(x1,x2,…,xn) 是n元原始递归谓词， h1,h2,…,hn是k元原始递归函数，则下面的谓词也 是原始递归的：
Q(x1,x2,…,xk)=P(h1(x1,x2,…,xk), h2(x1,x2,…,xk),…, hn(x1,x2,…,xk))
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定理5-7 设f(x1,x2,…,xn) 和g(x1,x2,…,xn)是n 元原始递归函数，则下面谓词也是原始递归 的： f(x1,x2,…,xn) = g(x1,x2,…,xn)
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.2 原始递归函数
三个基本函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
X
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定理5-2 若谓词P(x1,x2,…, xn)和Ｑ(x1,x2,…, xn)是原始递归谓词，则其合取式、析取式也 是原始递归谓词。
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
【例5-13】 x=y 【例5-14】 x>y 【例5-15】 x≤y
5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
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5.2 原始递归函数
X
X
X
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
定义5-7 称谓词（集合）是原始递归的， 若其特征函数也是原始递归的。 关于谓词合适公式的原始递归性，有以 下四个定理。 定理5-1 若谓词P(x1,x2,…,xn)是原始递 归的，则┐P(x1,x2,…, xn)也是原始递归 的。
谓词。
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.3 原始递归谓词和原始递归集合
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
全函数
(4)
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5.4 部分递归函数及其与图灵机的等 价性
定义5-10 由常数函数、投影函数、后继函 数出发，经过复合、递归和对正则函数取极 小算子运算得到的函数，称为递归函数。 阿克曼函数不是原始递归函数 Ack(0, m)=m+1 Ack(n+1,0) = Ack(n,1) Ack(n+1,m+1) = Ack(n, Ack(n+1,m))