积化和差与和差化积公式(教师版)积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sin cos .22αβαβαβ+-+=222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=±sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=-22tan tan 2.1tan ααα=-cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=sinsin 2cos sin .22αβαβαβ+--=coscos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。

如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。

和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。

正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2把α，β的值代入，即得sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]cos(α-β)-cos(α+β)=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]=2sinαsinβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 2tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1、上述三个公式统称为万能公式。

2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用. 3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ，其中,αβ是任意角。

=--+=-++=--=-+=2222)()(αββαβαβααββββαα2()()()()2()2()2222αβαββαβαααβαββαβα+-+-=++-=+--=+=-=三、例题讲解例1 已知α，β均为锐角， sin α=551010，sin β=，求α+β的值。

解析：由已知条件有cos α=25531010，cos β=，且0＜α+β＜π。

又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=+=255310105510102204××＞，所以αβπ 例2已知sin(3)cos()tan()cot()2(),()cos()n x x x x f x n Z n x πππππ---+=∈-（１） 求52();3f π（２） 若34cos(),25πα-=求()f α的值．解当2()n k n Z =∈时，sin cos tan cot ()sin ;cos x x x xf x x x-==- 当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )()sin tan .cos x x x x f x x x x--==-34cos()sin ,sin .25πααα-=-∴=-故当n 为偶数时，525243()sin sin 3334()sin ;5f f πππαα=-=-==-=当n 为奇数时，222225252524433()sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-⋅=例3已知21sin(),sin().35αβαβ+=-=（１） 求tan cot αβ的值； （２） 当(,),(,)2222ππππαβαβ+∈--∈-时，求sin 2β的值．解（１）［方法１］2sin cos cos sin ,31sin cos cos sin ,5137sin cos ,cos sin .3030αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒==从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7αβαβαβ==［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβαβαβ==sin()10,sin()3sin()sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 11tan ,tan 11tan x x αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=-+++==---++==--且11013,tan cot .137x x x αβ+∴=⇒==- （２）由已知可得sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()465βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+--=例4已知11cos(),cos(),22αβαβ+=-=求tan tan αβ的值.解1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351cos cos ,sin sin .1212αβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⇒==- sin sin 1tan tan .cos cos 5αβαβαβ∴==-例5已知11sin cos ,cos sin ,23αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.解 将两条件式分别平方，得22221sin 2sin cos cos ,41cos 2cos sin sin .9ααββααββ-+=-+=将上面两式相加，得1322sin(),3659sin().72αβαβ-+=⇒+= 例6sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+-的值等于 （ ）A ．23B ．23C ．232+ D ．232解000000000000000000000000000sin(158)cos15sin 8cos(158)sin15sin 8sin15cos8cos15sin 8cos15sin 8cos15cos8sin15sin 8sin15sin 8tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 302 3.-+=---+=+--==-=+=-原式故选B.例7 已知cos(α－β)= βα=α、，，2312sin 21都是锐角，求cos(α+β)的值。

解析：由已知条件有。

322)31(12sin 12cos ,312sin 22022=-=α-=α=απα则，又＜＜因为0＜sin2α=1312＜，所以0＜2α＜π6，所以0＜α＜π12。

①又因为0＜β＜π2，所以-π2＜-β＜0 。

②由①、②得-π2＜α-β＜π12。

又因为cos （α-β）=12，所以--παβ20＜＜。

)(cos 1)sin(2β-α--=β-α所以=23-。

从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。

6322233121322-=-+=）（××评析：本例通过0＜sin2α= 1312＜，发现了隐含条件：0＜α＜π12，将α-β的范围缩小为--παβπ212＜＜，进而由cos(α-β)= 12,将α-β的范围确定为--παβ20＜＜，从而避免了增解。