工程力学B 第二部分：材料力学扭转1、钢制圆轴材料的剪切弹性模量G=80Gpa，[]=50Mpa,mo1][='ϕ,圆轴直径d=100mm;求(1)做出扭矩图;(2)校核强度;(3)校核刚度;(4)计算A,B两截面的相对扭转角.解：3maxmax361030.57[]50(0.1)16tTMPa MPaWττπ⨯===<=⨯]030max00 max941806101800.44[]18010(0.1)32m mpTGIϕϕπππ⨯''=⨯=⨯=<=⨯⨯⨯3094(364)2101800.0130.738010(0.1)32ABpTlradGIφππ+-⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯∑2、图示阶梯状实心圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm 。

扭转力偶矩M A=22 kN•m，M B=36 kN•m，M C=14 kN•m。

材料的许用切应力[= 80MPa ，（１）做出轴的扭矩图；（２）校核该轴的强度是否满足要求。

解：（1）求内力，作出轴的扭矩图（2）计算轴横截面上的最大切应力并校核强度AB段：11,max1tTWτ=()333221064.8MPaπ1201016-⨯==⨯⨯[]80MPaτ<=BC段：()322,max332141071.3MPaπ1001016tTWτ-⨯===⨯⨯[]80MPaτ<=综上，该轴满足强度条件。

；3、传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮B，C分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。

已知材料的许用切应力[]=70MP a，单位长度的许可扭转角[，]=1º/m，剪切弹性模量G=80GP a。

(1)画出扭矩图。

(2)试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理为什么解：（1）mNnPM.7639500400954995491e1=⨯==，mNnPM.3056500160954995492e2=⨯==mNnPM.4583500240954995493e3=⨯==，扭矩图如下（2）AB段，按强度条件：][163maxτπτ≤==dTWTt，3][16τπTd≥，mmd2.821070763916361=⨯⨯⨯≥π按刚度条件：m p d GT GI T 004max1][18032180='≤⨯=⨯='ϕπππϕ，4218032π⨯⨯≥G T d mm d 4.86108018076393242901=⨯⨯⨯⨯≥π[综合强度和刚度条件得到：mm d 871= BC 段，按强度条件：mm d 3.691070458316362=⨯⨯⨯≥π； 按刚度条件：mm d 0.76108018045833242902=⨯⨯⨯⨯≥π综合强度和刚度条件得到：mm d 762=（3）将主动轮放置中央B 点，受力合力，此时m N T .4583max =！弯曲内力4、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力maxsF 和弯矩maxM数值。

，max s F qa =，2max 1.5M qa =5、(1)做出梁的剪力图和弯矩图；(2)求最大剪力maxsF 和弯矩maxM数值。

}max 3s F qa =，2max 2M qa =、|弯曲应力6、如图所示正方形截面外伸梁，若材料的许用应力[]MPa 10=σ。

（1）试绘制该梁的剪力图和弯矩图。

（2） 按正应力强度条件确定该梁的横截面边长a 。

解：（1）支座反力kN R A 5.8=，kN R B 5.3=，方向均竖直向上。

剪力图和弯矩图如图所示：{（2）m kN M •=3max63a W Z =由][maxmax σσ≤=ZW M （计算过程略）得1216.a mm ≥ 7、如图所示外伸铸铁梁的横截面为T 形，载荷及横截面尺寸（注：横截面尺寸单位为mm ）如图所示。

中性轴为z 轴，已知6426.110z I m -=⨯，材料的许用拉应力为[]40t MPa σ=,许用压应力为[]110c MPa σ=。

（1）作出梁的剪力图和弯矩图。

（2）按照正应力条件校核铸铁梁的强度。

（3）若梁上载荷不变，将T 形截面倒置，是否合理，何故解：（1）求约束力0402000.4xA B FR R =+=+⨯∑0 1.4400.52000.4 1.60AB MR =⨯-⨯-⨯⨯=∑解得：14.3,105.7A B R kN R kN == 绘出剪力和弯矩图：#（2）16.,7.15.B C M kN m M kN m ==;1248,142y mm y mm == 截面B[]31max 616100.04829.426.110B t t Z M y MPa I σσ-⨯⨯===<⨯ []32max616100.1428726.110B c c Z M y MPa I σσ-⨯⨯===<⨯截面C[]32max67.15100.14238.926.110c t t Z M y MPa I σσ-⨯⨯===<⨯ 故，铸铁梁的强度足够。

若将截面倒置，则B 截面的最大拉应力[]2max 87B t t ZM y MPa I σσ==>，不满足强度要求。

8、T 字形铸铁梁的弯矩图和横截面尺寸如图所示，已知其对中性轴的惯性矩546.0110z I m -=⨯。

铸铁材料的许用拉应力[]40t MPa σ=，许用压应力[]160c MPa σ=。

按照正应力的强度条件校核梁的强度。

如载荷不变，但将T 形导致成为⊥形，是否合理，何故解： !（1）由弯矩图可知，可能的危险截面是B 和C 。

20.B M kN m =，10.C M kN m =（2）强度计算：B 截面（上拉下压）：520725241[]60110max ...σσ-⨯==<⨯t t MPa ，5201575524[]60110max ...σσ-⨯==<⨯C C MPa C 截面（上压下拉）：5101575262[]60110max ...σσ-⨯==<⨯t t MPa ， 5107251167[]60110max...σσ-⨯==<⨯C C MPa ∴安全（3）截面倒置后，由于B 截面52015755239[]60110max ...σσ-⨯==>⨯t t MPa ，所以不安全。

8、槽形截面悬臂梁，现已给出该梁在图示外载作用下的弯矩图（如图所示，图、 -中未标明的长度单位为：mm ），已知：I Z = ×10 -4m 4, 脆性材料的许用拉应力[+] = 35MPa ， 许用压应力[ -] = 120MPa ，试按弯曲正应力强度条件校核该 梁的强度。

解:可能的危险截面是跨度中点截面C30;40C C M KNm M KNm ==左右，1296;154y mm y mm == C 处的左侧截面：25096z31max430100.09628.23351.0210C Z M y MPa MPa I σσ++-⨯⨯⎡⎤===<=⎣⎦⨯左 32max430100.15445.291201.0210C ZM y MPa MPa I σσ---⨯⨯⎡⎤===<=⎣⎦⨯左 (C 处的右侧截面：32max440100.15460.39351.0210C Z M y MPa MPa I σσ++-⨯⨯⎡⎤===<=⎣⎦⨯右 31max440100.09637.641201.0210C ZM y MPa MPa I σσ---⨯⨯⎡⎤===<=⎣⎦⨯右 所以满足强度要求。

—；:pTlGI φ=;弯曲变形9、直角折轴ABC 如图所示。

B 为一轴承，允许AB 轴的端截面在轴承内自由转动，但不能上下移动。

已知N P 60=，Gpa E 210=,E G 4.0=。

试求截面C 的挠度。

附：如左下图所示，悬臂梁A 截面的挠度和转角为：EI 3/PL y 3A -=；EI 2/PL 2-=θ解：（1）先AB 段刚化，得3116173.C pL V mm EI=-=- N P 60= m L 3.01= (2)BC 段刚化21205.C AB V L mm φ=•=- m N PL T •==18112821.C C C V V V mm =+=-10、用叠加法计算下图（1）中B 点的挠度$（1） （2）510^BAL=500300C20φ附：如下图（2）所示，悬臂梁A 截面的挠度和转角为：EI 3/PL y 3A -=， EI 2/PL 2A -=θ。

EIPL L EIPL EI PL L V VPCBPC BP 6523323=•+=•+=θEIPL EI L P V PB 3163)2(2332-=-=32276B BP B PPL V V V EI-=+=应力状态分析11、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法（即应力圆法）求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

]解：120,50,30,30x y xy yx MPa MPa MPa MPa σσττ==-=-= （1） 应力圆，(120,30),(50,30)B B '--， 选“—”代表30MPa(2)()2max 2min 12050120503022221253590.1255.11x y x y xy MPaMPaσσσσστσ+-⎛⎫-+⎛⎫=+=±+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=±=-123125.12,0,55.12MPa MPa σσσ===-（3）()0 02230tan20.3529,9.7212050xyx yταασσ⨯-=-=-==-+主单元体如图所示。

12、已知应力状态单元体如下图所示，采用解析法求：（1）主应力的大小，（2）主平面的方位，（3）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

/解：0,80,20x y xyMPa Mpaσστ==-=，22maxmin4.7()4020584.722x y x yxyMPaσσσσστσ+-+=±+=-±=-1234.7,0,84.7MPa MPaσσσ∴===-2tan20.5xyx yτασσ=-=--，013.3α=-或076.7α=max minmax44.72MPaσστ-==13、单元体的应力状态如图;（1）求图示30oα=斜截面上的正应力、切应力;（2）主应力及主平面所在的方位，并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。

】解：100,80,40x y xy MPa MPa MPa σστ==-= （1）计算030σ和030τ30cos 2sin 222x yx yxy σσσσσατα+-=+-00100(80)100(80)cos6040sin6020.36(MPa)22+---=+-= 030sin 2cos 22x yxy σστατα-=+00100(80)sin6040cos6097.64(MPa)2--=+= （2）可以采用解析法或图解法中的一种来计算，下面采用解析法计算max σ，min σ及主平面方位角2max 2min 108.5MPa 2288.5MPa x y x y xyσσσσστσ+-⎛⎫⎧=+=⎨ ⎪-⎩⎝⎭ 主应力分别为：123108.5MPa,0,88.5MPa σσσ===- 计算主平面方位：02240tan 20.4444100(80)xyx yτασσ⨯=-=-=----？0012α=-和0000129078α=-+= 主单元体如下：14、已知应力状态单元体如下图所示，采用图解法(即应力圆法)求：（1）画出应力圆，（2）主应力的大小，（3）主平面的方位，（4）并将主应力和主平面的方位标示在主单元体上。