7. 边界影响
8. 驰豫时间 9. 分布函数
分子运动论
湍流运动
分子 稳定，现成
涡
大小不一，不稳定，求解 后得到
常数
变数
平均自由程，只随温度压力的改 变而改变，与边界无关
只随温度变化，不是空间位置的 函数
混和长度，随边界形状改 变而改变
脉动速度随时间空间变化 很大
随机运动
有时规律，有时随机
不影响 短，无记忆
ui x j
p xi
ij
x j
(6)
5 ui 6，有：
ui
uiu j
p
ij
t
xj xi xj
写成向量形式的方程：
u t
guu
p
gτ
展开：
u
t
uu
x
uv
y
uw
z
p x
xx
x
xy
y
xz
z
v
t
vu
x
vv
y
vw
z
p y
yx
x
yy
y
yz
z
w
u
v
0
x y
u
t
u
u x
v u y
1
p x
2u x2
2u
y 2
v
t
u
v x
1
p y
2v x2
2v
y 2
无量纲化，取特征量速度——U，长度——2h， 时间——2h/U，从两式中消去p’，并令：
v u
x y
•及其满足的方程：
t
u
x
v
2u y2
1 2
Re
x2
2
2hLeabharlann 2• 在层流流动中，有：
u u y,v 0, p px
• 满足方程：
1
dp dx
d 2u dy 2
0
• 假定流动受到小扰动，即：
u x, y,t u y u x, y,t
v
x,
y,
t
v
x,
y,t
p
x,
y, t
p
x
p
x,
y, t
• 带“ ′”的物理量称为脉动量。
• 代入原始方程，并去掉平均量，得脉动方程：
v t
u
v x
v
v y
w
v z
p y
x
yx vu
y
yy vv
z
yz vw
w t
u
w v x
w y
w
w z
p z
x
zx wu
y
zy wv
z
zz ww
与层流流动的方程相比，应力项多出一部 分，即：
τ
xx yx
xy yy
例：截面积A，以速度U 射到平板上，求平板受力。 解：设dx段的动量在dt时间 内被改变，则：
AdxU Fdt
由于：
dx U F AU gU
dt
AU 2
其中ρAU即为动量。应力为单位面积上的 受力。
当D=0.1m，U=10m/s，得：F=800kg.
应力和应变率张量
Du Dt
Fb
f x, y, z,t 1 T
T
2 T
f
x, y, z,t dt
2
式中的时均周期T应比脉动周期大很多，以 包含大量的脉动，同时又比宏观流动的特征时间 小很多，以便充分描述时均值随时间变化。若时 均值不随时间变化，称为时均定常湍流，简称定 常湍流。
一般的，我们把物理量 f x, y, z,t分解为时均
临界雷诺数： Rec = 13800 层湍 （上）
（金属圆管） Rec = 2320 湍层 （下）
对于非圆截面管道： Re v dH
式中：
4A dH S
—— 水力直径
式中：S —— 湿周，即过流断面的周界长度。
用下临界雷诺数判别流态（对于光滑金属管）：
当 Re < Rec = 2320 层流
当 Re > 2320
gP
其中Fb为质量力，P为内力张量。
P
τ
p
gu
I
2S
p
2 3
gu
I
p为压力，各向同性，λ为体膨胀粘性系数 ，根据Stokes假设， λ=-2μ/3。
对不可压流体，有： gu 0
ui
uiu j
uiuj
p
ij
t
x j
xj xi xj
• 应用连续方程：
ui t
uj
ui x j
p xi
x j
ij uiuj
• 分量形式：
u t
u u x
v
u y
w u z
p x
x
xx uu
y
xy uv
z
xz uw
a a1i a2 j a3k a1e1 a2e2 a3e3 aiei
• 1. 爱因斯坦求和符号（哑标或哑指标）
a aiei a1e1 a2e2 a3e3, i 1, 2, 3
•
数学式中的任一项，如出现一对
符号相同的指标，如上式中的i，表示对
这个指标遍其取值范围求和，上式中为
涡的形状和数目随涡的形 状和数目随边界形状改变
而急剧改变
长，有记忆
玻氏微积分方程
无
其中的致命伤：6,8,9 科学：1.确定性。2. 可重复性。
5-3 稳定性理论的基本思想
为了求解方程，需要对问题进行数学上 的描述。当某些物理量达到稳定的临界值时， 给方程加一个扰动，如果解变得不规则，则方 程处于不稳定状态。
xz yz
uu vu
uv vv
uw
vw
zx zy zz wu wv ww
后一部分称为雷诺应力：
uu
R vu wu
uv vv wv
uw
vw ww
雷诺应力的含义（以 uv 为例）：
u 相当于脉动动量，uv则是动量 在y方向上的脉动变化率，即施给外界的力 ，自身受到反作用力 uv。
值 f x, y, z,t 与脉动值 f x, y, z,t之和，即：
f x, y, z,t f x, y, z,t f x, y, z,t
并有：
1. f 0 4. f g f g 6. f f
x x
2. f f
3. fg fg
5. fg fg f g
7. f f t t
例题同前： 不可压，定常。
该问题满足方程：
u x
v y
0
u
t
u
u x
v
u y
1
p x
2u x2
2u y 2
v
t
u
v x
v
v y
1
p y
2v x2
2v y 2
•
边界条件：
y y
h,u 0, v 0 h,u U ,v 0
• 层流解：u U y h P y2 h2
第五章 湍流与管流
§5-1 雷诺实验
一、层流和湍流（流体在管道中运动时的两种流 动状态）
层流 —— 流体质点无横向运动，互不混杂，层 次分明地沿管轴流动。
湍流 —— 流体质点具有无规则的横向脉动。引 起流层间流体质点的紊乱，相互混杂 的流动。
二、雷诺数（流态的判定）
Re vd
—— 雷诺数 (无量纲）
当β2<0，扰动随时间衰减，流动稳定。反 之则不稳定。 β2=0称为中性稳定。
上面的方程最后可得：
u
2
u i Re
2 2 4
该方程称为奥尔-萨默菲尔德方程，为四阶 微分方程，满足四个边界条件：
y h, 0
y
h,
0
相当于满足壁面无滑移条件。
该方程有四个线性无关解 i y,i 1,2,3,4
湍流是一种不规则运动，当流体流过 固体表面，或者甚至当相邻的同类流体互 相流过或绕过时，一般会在流体中出现这 种不规则运动。
Key Word: 不规则性。
J. O. Hinze： 流体的湍流运动是一种不规则的流动状
态，它的各种量随时间和空间坐标表现出随 机变化，因而能辨别出不同的统计平均值。
Key Words: 不规则性，随机，统计平均值。
对于公式5的证明：
fg f f g g fg fg f g f g
fg f g f g f g fg f g
不可压流体湍流运动的时均方程组。
原始方程：
连续方程： gu 0
动量方程：
Du p gτ
Dt
令速度 u ui vj wk ，可将方程展开：
u
1到3。又如动能：
E v2 1 22
u2 v2 w2
1 2
uiui
规则：
(1) 在同一项中，以一对符号相同的指标出 现，表示遍历其取值范围求和。
(2) 每一对哑标的字母可以用相同取值范围 的另一对字母代替，其意义不变。如：
a aiei a je j
2. 自由指标
(1)一个指标在表达式的各项中都只出 现一次。表示该表达式在该自由指标的n维 取值范围内都成立，即代表了n个表达式。 例如： F Fi Fxi Fy j Fzk
要点：1. 不规则性。 时间上：欧拉坐标 空间上：拉格朗日坐标
2. 统计平均值的存在。
• 湍流的特征：
1. 不规则性。 2. 湍流扩散性。 3. 高雷诺数。 4. 混合性。各种时间尺度和空间尺度的存在。 5. 耗散性。
三、湍流的发生 雷诺实验。
雷诺数：
Re VL
其中：
L——特征长度， V ——平均速度，