第4章湍流的统计特性及对激光大气传输的影响分析激光大气传输湍流效应本质上就是光在湍流大气中的传播问题。

20世纪50年代前苏联学者Tatarskii引入Kolmogorov和Obukhov发展的湍流统计理论，求解湍流大气中波传播方程，取得的一些理论结果相当好地解释了在此以前所取得的实验结果，从而奠定的光波在湍流大气中传播的理论基础。

然而，由于激光在湍流大气中的传播是一个十分复杂的随即非线性过程，特别是大气湍流存在的间歇性，对激光传输有着难以估计的影响。

4.1大气湍流的成因在大气中，任一点的大气运动速度的方向和大小无时无刻不发生着不规则变化，产生了各个大气分子团相对于大气整体平均运动的不规则运动，这种现象称为大气湍流。

通常情况下大气都处于湍流状态，大气的随机运动产生了大气湍流，由于大气湍流的存在，大气温度和折射率也时刻发生着不规则的变化。

形成大气湍流的原因大致有四点。

第一，太阳的照射造成的大气温度差，太阳辐射对地表不同地区造成加热不同;第二，地球表面对气流拉伸移位导致了风速剪切;第三，地表热辐射产生了热对流;第四，伴随着热量释放的相变过程(沉积、结晶)导致了温度和速度场变化。

图4.1形象的表述了湍流的形成。

上图是英国的物理学家形chardson描绘的湍流的一个级串模型，虽然湍流的运动很复杂，但通过上图仍能对湍流有一个形象的认识。

上图表示湍流含有尺度不同的湍涡，而各种能量从大尺度湍涡一步一步向小尺度湍涡传递。

外界的能量传递给第一级大湍涡，由于受风剪切等因素的影响，大湍涡逐渐变得不稳定形成次级小湍涡，小湍涡再次失稳后再形成更次一级的许多小湍涡。

从图中可以看出，湍涡的大小有限，最大的湍涡的尺寸大小是外尺度L，最小的湍涡是内尺度0l。

尤其重要的是，这些大大小小的湍涡没有分散存在于大气中，而是交叉重叠的存在于大气中。

4.2 Kolmogorov-Oboukhov湍流统计理论虽然迄今为止人们对湍流的基本物理机制尚还不十分清楚，但已形成几个公认的基本概念，包括随机性、涡粘性、级串、和标度率。

随机性构成了湍流统计理论的基础；涡粘性揭示了湍流相近尺度间的相互作用行为；级串给了我们最直观、最明晰的湍流图像；标度律则成为物理上定量研究湍流问题的数学手段。

在直观的湍流现象中，Richardson首先给出了湍流的级串图：湍流中存在着不同尺度间的逐级能量传递，由大尺度湍涡向小尺度湍涡输送能量。

第一级大湍涡的能量来自外界，大湍涡失稳后形成次级的小湍涡，再失稳后产生更次一级的小湍涡。

在大雷诺数下，所有可能的运动模式都被激发。

基于Richardson级串模型。

Kolmogorov认为在大雷诺数下，这些不同尺度的湍涡共存，在级串过程中小尺度湍流最终达到统计平衡状态，形成局地各向同性湍流。

并提出三个假设：（1）因湍流机理而遭到破坏的Navier-Stokes 方程的所有可能的统计意义上的对称性在小尺度上都得到恢复。

即()()u r u r δρδ+=。

（2）湍流在小尺度上是自相似的，即存在一个标度指数h ，使得()()hu r l u r l δλλδ+=+（3）湍流有一个有限非零的平均耗散率ε。

在Kolmogorov 的统计理论中使用结构函数描述湍流的统计特征。

Oboukhov 把Kolmogorov 关于湍流速度场的分析推广到湍流温度场θ，引入温度脉动耗散率N ：2()N k θ=<∇>Kolmogorov 的上述理论的核心在于：对于充分发展的高雷诺数湍流，总能找到一个尺度范围。

在此范围内，上述有关结构函数和谱密度满足标度律。

在这个尺度范围一般称之为惯性区。

4.3湍流的统计特性4.3.1雷诺数雷诺在研究湍流时，于1883年引进一个无量纲数R e /ul v=其中u 和l 分别是流体的特征速度和特征尺度，而v 是流体的运动粘滞系数，从那以后，Re 就被称为雷诺数。

其物理意义是湍流具有的动能与耗散能之比。

在给定流体几何参数的情况下，其特征尺度也是恒定的，动态粘滞系数严格来讲依赖于流体的性质并随温度变化，但为简单起见，假定它对给定的流体也是不变的，于是在雷诺数中唯一变化的量就是流体的特征速度，而且雷诺数正比于其特征速度。

反过来说，对于雷诺数小于某一临界值时，流体具有光滑而清晰的流线，并称之为片流，当雷诺数大雨临界值时，流体作不规则的随机运动，并称之为湍流。

此临界值成为临界雷诺数，它的数值依赖于流体的几何特征并和湍流的产生方式有关。

对于雷诺数的大小有个数量级的概念，一大气为例，典型情况下，粘滞系数典型值为5211.510m s --⨯⋅，取流体速度为11.5m s -⋅，流体的特征尺度为10m ，得到雷诺数为610。

4.3.2 Kolomogrov 局地均匀各向同性湍流上世纪50年代末Kolmogorov 对湍流的物理机制作出了新的解释，他的局地均匀各向同性湍流理论认为，首先出现的湍流是与流动整体特征尺度相当的巨大湍流，其尺度叫作外尺度，用0L 表示。

对于大气湍流，通常在数十米到数百米的范围。

在充分发育的湍流中，大尺度运动通过破碎将动能传递给较小尺度的运动。

当雷诺数降到某一足够低的数值时，由于粘滞耗散，动能将转化为热能，这时的运动尺度称为湍流的内尺度，用0l 表示。

而0l 只有几个毫米。

满足00l r L <<的区域称为惯性区，所描述的湍流被称为Kolmogorov 湍流。

它是建立在以下三个假设的基础上：1)虽然流动整体是非各向同性的，但在给定的微小区域内，可以近似地把它看作各向同性的；2)在局地均匀各向同性区域中，流体运动仅仅由内摩擦力和惯性力决定；3)在大雷诺数值时，存在称为惯性范围的尺度空间00l r L <<，称为惯性子区，在此范围内，内摩擦力的影响是不重要的，可以略去。

4.3.3湍流场的统计特性目前的大气湍流折射率起伏功率谱的研究主要是以Kolmogorov 湍流理论为基础展开的。

折射率起伏与温度起伏之间存在简单的关系。

设大气温度T 的空间起伏为t T T =-<>其中<⋅>表示求系综平均，则其空间结构函数定义为21221(,)[()()]t D r r t r t r =<->空间结构函数除了依赖两点距离外，还会和单位质量气体单位时间的损耗能及温度的起伏产生率有关考虑到量纲关系应有22/3t t D C r=其中比例常数2t C 称为温度结构常数。

随机温度场可以用空间功率谱密度描述，这里参数为空间波矢，塔塔尔斯基证明一维谱211/3()0.033t t K C K-Φ=而三维谱25/3()0.414t t K C K-Φ=这里K 代表空间波数，并符合022K L l ππ有相同的研究方法可得到折射率空间结构函数22/3n n D C r=25/30()n n K A C K-Φ=这就是著名的“三分之二次方定律”和所谓的“负三分之五次方定律”。

在惯性区00l r L <<（衍射区）湍流谱符合Kolmogorov 谱211/3()0.033n n K C K-Φ=在耗散区0r l ≈（几何光学区）湍流谱可采用Tatarskii 谱211/320()0.033exp[(/5.92)]n n K C KK l -Φ=-在0r L ≈湍流谱可采用完全的van Karman 谱22211/60()0.033()n n K C K L --Φ=+折射率结构常数2n C 通常用来描述光学湍流的起伏强度，其取值范围是122/310m -- 到182/310m --，随着2n C 的增大，湍流的强度增强。

当2162/310n C m --≤时为弱湍流，当2142/310n C m --≈时为中等强度湍流，当2142/310n C m --≥时为强湍流。

2n C 随高度变化十分复杂，但大体可以认为是，当高度升高，2n C 变小。

与温度及折射率空间结构函数相类似，相位的空间结构函数也有相类似的表达式，弗雷德引入大气相关长度223/5002[0.423()()]L n r C z dz πλ-=⎰L 为积分路径的长度，z 表示沿着光传播方向的积分变量，这便被称为费雷德常数。

从而可以使相位空间结构函数简化为5/3() 6.88()r D r r ϕ=当积分路径与天顶方向之间有一非零夹角时223/5002[0.423sec ()()]L n r C z dz πγλ-=⎰费雷德常数是大气光学中非常重要的参数，其典型的取值范围为几厘米到几十厘米。

其与折射率空间结构函数一样是研究大气湍流重要的物理量。

其变化特点是，随着大气相关长度的增大湍流的强度变弱。

4.4 湍流对激光大气传输的影响4.4.1 相位起伏光波在湍流大气等不均匀介质中传播时，相位受到最明显的影响。

如果初始入射光波横截面上的相位相同，当进入非均匀介质后，各处的相位便发生改变，截面上任意两点的相位差与两点间的距离ρ和介质的不均匀度l （可将这个尺度内的介质当做一个漩涡）的相对关系有关，这两种距离尺度的相对关系可分为以下三种情况：（1）l ρ ，这种小尺度的不均匀对两点间的相位差的影响不大。

主要原因在于，一方面，其本身的起伏不大，另一方面，在较长的传播路径上，两条光线所经历的这种小尺度不均匀性在统计上数量应该基本相同。

（2）l ρ≈，这种和两点间距离相仿的不均匀尺度对相位的影响最大，光线相对于不均匀区域的位置的不同以及两条光路上不均匀区域数量的差别都对相位有明显的影响。

（3）l ρ ，这种大尺度不均度对两点间的相位差的影响也不大，因为他们一般覆盖了两条光束经历了相同的相位改变。

因此，在分析两点间的相位差时，我们主要考虑和两点间距离相仿的湍流的影响。

在整个传播路径上，l ρ≈的湍流的数量为/N L ρ=，总的相位差为1Nii S dS =∆=∑，总的相位差的方差是222()i n SN dS k L D ρρ<∆>=<>=因此相位结构函数与折射率结构函数成正比：22().()S n n D const C k L D ρρρ=在工程系统实际应用中，与横向相位差密切相关的是到达角。

到达角与相位差的几何关系因此基线ρ上的到达角α与相位差S ∆的定量关系为//()L S k αρρ=∆=∆到达角α的起伏方差2222/()()/()S Sk D k αρρρ<>=<∆>=根据相位起伏方差的结果，当观测距离位于湍流惯性区内的情况下00L l ρ 的到达角α的起伏方差表述为221/3.n const C Ll α-<>=4.4.2 光强起伏大气湍流在影响光波相位的同时，也引起振幅的变化。

振幅变化导致光强的起伏，这也就是通常所说的闪烁现象即大气闪烁。