)2
g(EF
)
g(E)

2
E
5 2
5
g(E)

3
E
1 2
2
E

2 5
C N
EF5/ 2

2
6
(kBT )2
3 2
C N
1
EF2

2 5
C N
5
(EF2

5 2
8
1
(kBT )2 EF2 )
3.5 自由电子比热
二、电子气的比热容
若系统中有N个电子,根据比热容的定义 cV 比热容为:


EF )
(kBT)]1对于能量较高的电子,满足
由冲量定理有：
m
dv


dk


e
dt dt
f


mvE
t
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
mvE

e
t
即:
vE


et
m



由于电子的漂移运动,电子气系统产生一个沿外场方向的电流 jE
jE

nevE

ne2t
m




ne2t
3.2 自由电子的量子理论
一、周期性边界条件
周期性边界条件：



(r (r

Lx Ly
) )


(r ) (r )



(1) (2)
(r Lz ) (r ) (3)
Lx N1a1 Ly N2a2 Lx N3a3
将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：
C(EF0
3
)2
0
2
EF0

(3 2
N C
2
)3

2 2m

3N Vc
2
3
2 (3n 2 )23 2m
g(E)
E O
自由电子的状态密度曲线
E 1 N

EdN
0

1 N

E (E)dE
0
1 N
EF0 0
3
CE 2dE

3 5
E
0 F
3.3费米面与态密度
j AT 2eW kBT
里查逊----杜师曼定律
T为绝对温度;A为常数,不同金属A的值不同.
3.7 金属的电子热发射
用电子气模型来计算热电子发射电流的大小:
在波矢空间中,体积元dk dkxdkydkz中电子态的数目为:
dZ

Vc
4 3
dk x dk y dk z
按费米分布,这些态 上的电子数密度为:
这种阻力来源于晶格振动(声子)以及晶格中的缺陷和杂质原 子与电子间的相互作用.
对于电子运动阻力的定量分析是复杂的,这里用简单的弛豫时 间方法来处理.
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
电子运动的群速度为：
v d d dE(k)
dk dk dk
当晶体外加电场时,电子被加速, 按牛顿力学有:
N CE 2 f (E)dE 0

2
3
CE 2
3
|0

2 3

C
0
3
E2
f
(E)dE
先求积分I：
I
(
EF
)



g
(
E
)
f (E E
)
dE
0
I0g(EF ) I1g(EF ) I2g(EF )

g(EF
)

2
6
(kBT
)2
g(EF
)
I0



3
bT 3
3
低温下金属总的比热容为:
2
KCl
cV cVe cVc T bT 3
1
变形为:
cV bT 2
T
0
Cu
5
10 15 T 2 K 2
金属总的比热容
3.6 自由电子气的电导率
一、弛豫时间近似
若晶体中的电子是完全自由的,则晶体将没有电阻,在外场作用 下电子定向运动的速度越来越大直至无穷,这是与实验不相符 的.在实际上,电子在晶体内运动时,要受阻力作用.
第三章 金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals
3.0 引言
一、基本内容
经典电子理论及其局限性 量子自由电子理论 态密度及费米面 金属的接触势差 电子比热
二、学习要点
掌握量子理论的提出过程 掌握态密度的求法 熟练掌握费米面的概念
－绝对零度下的费米能级记为：EF0
f (E)
1
EEF
e kBT 1
a. kBT 0
f (E)
1

陡变
E EF E EF
0 E EF
b. kBT 1
1 E EF
f
(E
)

1 02
E EF E EF
c. kBT 2.5
1 E EF
m

在波矢空间中,当电子气系统达到稳定平衡状态后,每个电子的波矢增加了 k

k

mvE

可见:弛豫时间越大,即阻力越小,则导电能力越强.
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
kx
kx

kx
ky
无外场
有无外场
电场作用下费米球移动示意图
对导电有贡献仅仅是费米面附近的电子
3.7 金属的电子热发射
f (E)
1
E
e kBT 1
—Fermi- Dirac 分布
其中： 为电子的化学势, 一般称绝对零度下的电子化学势为费米面
T=0K时， ＝EF
f(E)
E EF : f (E) 0 状态全空
1
EF
E EF : f (E) 1 状态全被占据
E




EF










用电子速度表示 波矢和能量:
1
dn
E

1
4
mv2
3
f (E)dkxdkydkz
v

2 p
k
mm
所以
dk x dk y dk z


m
3
dvx
dv
y
dvz
3.7 金属的电子热发射
dn

1 4
3

m
3

exp[(
dvx dv y dvz
mv2 2
－－十分重要
3.3费米面与态密度
四、态密度
3.3费米面与态密度
五、自由电子气体的态密度和费米面
对于自由电子，等能面是球面，由上述分析可得
g(E)

Vc
2 2
(
2m
2
)
3 2
E
1 2
1
CE 2
其中
C

Vc 2 2
(
2m 2
)
3 2

N (E)dE

EF0
CE
1 2
dE
0

2 3
2m

平面波形式的解 :


(r )



eik r
0
其中 r 为电子的位置矢量，k 为波矢量.
2k 2 E
2m
p

k
上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.
六、与费米面相关的一些概念
对于自由电子，费米面为球面. 费米面上的电子的能量称为费米能, 对应的波矢为费米波矢, 对应的电子的速度为费米速度.
2
由
EF0

2 2m

3N Vc
2

3

k
2 F
2m
得绝对零度时的费米波矢为:
由电子动量 kF0 mvF0 得绝对零度时的费米速度矢为:


3.3费米面与态密度
二、费米面的物理意义
费米能级在k空间的等能面－费米面； 绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面； 费米能级是绝对零度下电子的化学势； 自由电子的费米面为球面。
特别提示：
有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化 学势均称为费米面，此时费米能级是温度的函数，而
• Semiconductor: Resistance decreases with Temperature. • Why? Temp t, n (“free-up” carriers to conduct)
3.2 自由电子的量子理论
一、波函数与能级
薛定谔方程：
2 2 E
eikxLx 1
kx

2
Lx
nx , nx

0,1,2,
同理有：
ky

2
Ly
ny , ny