，即 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ， .
当 时， ，
当 时， ．
验：当 时， 满足上式，∴数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.已知 中三个内角A，B，C满足 ．
因为 ，所以 ，选项B正确；
因为 ，所以 ，选项C不正确；
因为 为增函数，所以 ，选项D正确.
故选：C.
3.下列函数中定义域为 ，且在 上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为 的定义域为 ， 的定义域为 ，所以排除选项B,C.
因为 在 是减函数，所以排除选项A，故选：D.
4.等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ( )
且当 时， ， 在 上是单调递增；
当 时， ， 在 上是单调递减；
当 时， ， 在 上是单调递增，
故 是 在 上的极小值．
综上， ．
（2）由（1）知， 的极大值为 ．
又 ， ，
令 ， ，则 ，
在区间 上单调递增， ， .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】
（1）先结合三角恒等变换的公式把目标函数化简为标准型，结合周期求解公式和单调区间求解方法可求；
（2）结合所给角的范围，确定 的范围，结合函数值可得所求角.
【详解】解：（1）
∴ ，
即 的最小正周期为 ．
∵ 的单调递减区间为 ， ，
∴由 ， ，解得 ， ，
A.4B.5C.10D.15
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，可得 ，所以 ，
故选：B.
5.已知函数 ，若 ，则 ( )
A.-2B.-1C.0D.
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，易得 .故选：B.
6.已知命题 函数 ， 的最小值为 ；命题 若向量 ， ， ，满足 ，则 ．下列命题中为真命题的是( )
【详解】令f（x）＝0，可得：a＝ ，令h（x）＝ ，
h （x）＝ ，令h （x）＝0，解得x＝0或1，
x
（﹣∞，0）
0
（0，1）
1
（1，+∞）
h （x）
﹣
0
+
0
﹣
h（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
由表格可得：h（x） ＝h（0）＝1，h（x） ＝h（1）＝ ，且 ， .
由f（x）有且仅有一个零点，转化为函数h（x）与直线y＝a有且仅有一个交点．
14.已知向量 ，向量 的模为1，且 ，则 与 的夹角为________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，所以 ，故 与 的夹角为 .故答案为： .
15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西 的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 的方向上，仰角为 ，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）
∴ 的单调递减区间为 ， ．
（2）由已知 ，可得 ，
即 ，
再由 ，可得 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及性质，一般求解思路是：先利用公式把目标函数化简为标准型，然后利用相应性质的求解方法求解，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.
18.在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前n项和 ．
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）设射线 与曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【详解】解：（1）由题意得 ，
A.1B.2C. D.
【答案】A
【详解】因为函数 的导数为 ，可得图象在点 处的切线斜率为 ，且 ，则切线方程为 ，令 可得 ，
故选：A.
10.某数学小组到进行社会实践调查，了解鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁。进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
20.已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最大值是2，若存在，求出 的值；不存在，请说明理由．
【答案】（1）极小值为 ，极大值为 ；（2）存在 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，则 ，得 的单调性，进而得 的极值；
（2）求导得 ，按 ， ， 进行分别讨论得 的单调性，进而求出最大值，判断最大值是2能否成立即可.
当 时， ，解得 ；
综上，原不等式的解集为 ．
（2）∵
当且仅当 等号成立
∴ ，
∴ 或 ，即 或 ，
∴实数m的取值范围是 ．
（2）由（1）知， 的极大值为 ， ，令 ，求导得 在 上单调递增，即可证得.
【详解】（1）由题意得 ，令 ，则 ．
∴当 时，得 ，当 时，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， ， ，∴ ．
①当 ，即 时， ，于是 在 上是增函数，
从而 在 上无极值．
②当 ，即 时，存在 ，使得 ，
综上所述： .
【点睛】本题考查了导数的应用：函数的单调性、极值、最值求参数等问题，也考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
21.已知函数 ， ， ．
（1）若 存在极小值，求实数a的取值范围；
（2）若 的极大值为 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求导 ，令 ，则 ，得 在 上单调递减，在 上单调递增， ，由题意得按 ， 分类讨论，计算实数a的取值范围即可；
公司日利润y元，则y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200＝﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），
∵﹣40＜0，∴当x＝ ＝5.5时函数y有最大值，
因此，每桶水的价格为6+5.5=11.5元，公司日利润最大，
故选：D
11.函数 在 上单调递增，且图象关于 对称，则 的值为( )
A. B. C. 2D.
（1）求 ；
（2）若 ，b是角B的对边， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据 及平方关系，可以求得 ；
（2）根据三角形 性质及正弦定理可求 ， ，然后利用面积公式可得.
【详解】解：（1）在 中， ，即 ，
∴ ，
由题意得 ．
两边平方可得 ，
根据 ，
可整理为 ，
解得 或 （舍去）．
因 ， ，所以 ,即有 ;
结合比例性质可得 ,所以 ;
在 方向上的投影为 .故选：D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ，则 ________．
【答案】e
【详解】因为 ，所以函数 的周期为 ，所以 ；
又因为当 时， ，所以 .故答案为： .

绵阳市高中2017级一诊
文科数学
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1.已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .故选：A.
2.若 ，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，选项A正确；
【答案】
【解析】
【详解】如图，
根据已知可得
设飞行高度为 千米，即 ，则 ;
在直角三角形 中， ,所以 ， ；
在直角三角形 中，同理可求 ；
因为飞行速度为 千米/小时，飞行时间是1分钟，所以 ,
所以 ，解得 ，故答案为： .
16.若函数 有且仅有1个零点，则实数 的取值范围为________．
【答案】 或
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意命题 函数 当且仅当 时，等号成立，由 性质可得 ，所以函数 ， 取不到最小值 ，即命题 为假，则命题 为真；
命题 若向量 为零向量，满足 ，但不一定有 ，所以命题 为假，则命题 为真，所以 为真.故选: D.
7.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为( )
【详解】（1）当 时， ，则 ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增．
的极小值为 ，极大值为 .
（2） ，
当 时， 在 单调递增， 最大值为 ，解得 （舍）；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 最大值为 或 ，
由 ，解得 （舍），由 ，解得 .
当 时， 在 单调递减， 最大值为 ，解得 （舍)．
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为 ，由指数函数 单调递增，且 可得 ，且 ，又因为 ，所以 .故选：B.
8.已知x，y满足约束条件 ，则 的最小值为( )
A.4B.2C.1D.