河南省开封市 —高三第一次模拟考试
数 学 试 题（理）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答 题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差
锥体体积公式
])()()[(1
22221x x x x x x n
S n -++-+-=
Sh V 3
1=
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
Sh V =
323
4
,4R V R S ππ==
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
） 1．若2
2
2
{|},{2},P P y y x Q x y ===+=则Q= （ ）
A ．[0
B ．{1111}（,）,(-,)
C ．
D ．[
2．已知i 为虚数单位，复数121i
z i
+=-，则复数z 在复平面上的对应点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a =
（ ）
A ．38()2
n
B ．28()3
n
C ．138()2n -
D ．128()3
n -
4．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；
②存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l ，m ，使得l//α，l //β，m//α，m//β； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知命题：1
:1,1,p x q p x
≤<→命题q:则是成立
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．给出30个数2，3，5，8，12，17，…，要计算这30个数 的和，该问题的程序框图如图：则框图中判断框①和执行框 ②应是 （ ） A ．30;1i p p i ≤=+- B ．31;1i p p i ≤=++ C ．30;i p p i ≤=+
D ．31;i p p i ≤=+
7．函数2
()sin cos 3cos 3f x x x x =+-的图象的一个对称中心
是 （ ）
A ．23(,)32π-
B ．3(
,)62
π5- C ．2
3(,
)3
2
π-
D ．(
,3)3
π
-
8．连续掷两次骰子分别得到的点数为m ，n ，则点P （m ，n ）在直线5x y +=左下方的概率为
（ ）
A ．
16
B ．
14 C ．112 D ．19
9．已知a 是函数12
()2log x f x x =-的零点，若000,x a <<则f(x )的值满足
（ ）
A ．0()0f x =
B ．0()0f x >
C ．0()0f x <
D ．0()f x 的符号不能确定
10．某校为了解高三学生在寒假期间的学习情况，抽查了
100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率
分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为（）A．50 B．45 C．40 D．30
11．过双曲线
2 2
2
:1(0)
y
M x b
b
-=>的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的渐近线分别交于B、C两点，且AB BC
=，则双曲线的离心率是（）A．10B．5C．
15
2
D．
10
3
12．如图，动点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，
过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面交
于M、N，设BP=x，MN=y，则函数()
y f x
=的图象大致
是（）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卷指定位置）
13．函数3
y x y x
==
和的图象所围成的图形的面积为。
14．已知一几何体的三视图如下，则该几何体外接球的表面积为。
15．已知不等式组
y x
y x
x a
≤
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≤
⎩
，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则2
z x y
=+的最大值为。
16．已知函数1
1,()221()21,(1),21,(1)x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
若数列{}n a 满足
*112006*********
,(),,3
n n a a f a n N a a a +==∈++则= 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分12分）
如图：山顶上有一塔，为了测量塔高，测量人员在山脚下A 点处测得塔底C 的仰角为60︒，
移动am 后到达B 点，又测得塔底C 点的仰角为30︒，测得塔尖D 点的仰角为45︒，求塔高CD 。
18．（本题满分12分）
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满10元，
可获得一次摇奖机会，购物满20元，可获得两次摇奖机会，以此类推，摇奖机结构如图，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，落入A 袋为一等奖，奖金2元，落入B 袋
为二等奖，奖金1元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1.2
（I ）求摇奖两次均获得一等奖的概率；
（II ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望； （III ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不能再参加摇奖），某消费者刚好
消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。
19．（本题满分12分）
如图所示的空间几何体，平面ACD ⊥平面ABC ，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60︒.且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上。
（I ）求证：DE//平面ABC ；
（II ）求二面角E —BC —A 的余弦； （III ）求多面体ABCDE 的体积。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上项点为B 1，右、右焦点为F 1、F 2，112B F F ∆是面
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）已知00(,)P x y 是以线段F 1F 2为直径的圆上一点，且000,0x y >>，求过P 点与该圆相切
的直线l 的方程；
（III ）若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，设1212,AF F BF F ∆∆的重心分别为G 、H ，请问原点O 在
以线段GH 为直径的圆内吗？若在请说明理由。
21．（本题满分12分） 已知函数2
1()ln (0)2
f x x ax bx a =-
+>且f'(1)=0, （I ）试用含a 的式子表示b ，并求函数()f x 的单调区间；
（II ）已知112212(,),(,)(0)A x y B x y x x <<为函数()f x 图象上不同两点，00(,)G x y 为AB 的中
点，记A 、B 两点连线的斜率为k ，证明：0'().f x k ≠
请理科考生在22、23题任选一道作答。
22．（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图：AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，CA 是BAF ∠的角平分线，过点C
作CD ⊥AF ，交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为M ，求证： （I ）DC 是⊙O 的切线； （II ）MB=DF 。
23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|7||3|.f x x x =--- （I ）作出函数()f x 的图象；
（II ）当5x <时，不等式|8|||2x x a --->恒成立，求a 的取值范围。
参考答案。