x 1 lim lim x 0 sin x x 0 cos x

1 .
例8 求 lim
解 为 型，由洛必达法则有
x ( n为正整数） . x x e
n
x nx lim x lim x x e x e n2 n n 1 x n! lim lim x x x x e e 1 n ! lim x 0 x e
f ( x ) 3) lim 存在 ( 或为 xa g ( x)

)
证 不妨假设 f (a) g (a) 0, 在指出的邻域内任取
则 故
f ( x) f ( x) f (a ) g ( x) g ( x) g (a )
在以 x, a 为端点的区间上满足柯
f () g ()
0 注意：对于x 时的 型，同样成立 0
f ( x) (3) lim 存在(或无穷大)， g ( x) f ( x) f ( x) lim . 那么 lim x a g ( x) x a g ( x )
xa
定理条件:
2) f ( x) 与 g ( x) 在 (a )内可导,
e x e x 2x e x e x 2 lim lim x 0 x 0 1 cos x x sin x e e lim x 0 sin x x x e e lim x 0 cos x
2.
x x
0 ( 型) 0
0 ( 型) 0
例6. 求
e x ea ( e x e a ) lim lim xa xa xa ( x a )
e x lim xa 1 e a .
ln 1 x . 例2 求 lim 2 x 0 x 解 由洛必达法则得
ln 1 x ln 1 x lim lim 2 x 0 x 0 x 2 x
x a
(1) lim f ( x) , lim g ( x) ,
(2) 在x a的某邻域内( x a可以除外)，f ( x) 与g ( x)存在, 且g ( x) 0, f ( x) (3) lim 存在(或无穷大)， g ( x) f ( x) f ( x) lim . 那么 lim x a g ( x) x a g ( x )
xa
注意：对于x 时的 型，同样成立
ln cot x 例7 求 lim . x 0 ln x 解 为 型，由洛必达法则有 1 ( csc 2 x) ln cot x lim lim cot x 1 x 0 x 0 ln x x x lim x 0 sin x cos x
第三章
洛必达法则
0 一、 型未定式 0
二、 型未定式
三、其他未定式
本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
洛必达法则
导数之商的极限
0 一、 型的未定式 0
定理 １
xa
如果f(x)和g(x)满足下列条件：
xa
(1) lim f ( x) 0, lim g ( x) 0，
(2) 在点a的某邻域内( x a可以除外), f ( x)与g ( x) 存在, 且g ( x) 0，
1 1 x2 1 2 x
0 型 0
解: 原式 lim
x
型
lim
x2

x 1 x 2
2
1 lim 1 1 x 2 1
x
思考: 如何求 lim
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
二、 的未定式
定理３
xa
如果函数f(x)，g(x)满足下列条件：
3)
( 在 x , a 之间)
f () lim xa g ()
机动
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注
①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ 若 lim f ( x) 还是未定式，且 f ( x), g ( x)满足 x x g ( x)
0
定理中对 f ( x), g ( x)所要求的条件，则可继 续 使用法则，直到不再是 未定式为止
f ( x) f ( x) ( x) f lim lim lim x x x x x x g ( x) g ( x) g ( x)
0 0
0
机动
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e x ea . 例1 求 lim xa xa 0 解 为 型，由洛必达法则有 0
0 0

1 = lim = x 0 2 x 1 x
例3
求 lim
x
cos x x

2 解 由洛必达法则得 0 cos x 0 cos x lim lim x x 2 x 2 2 x 2
2

.
sin x lim =-1 1 x
n
n 1
三、其它类型的未定式
1.如果 lim f ( x) 0, lim g ( x)
xa ( x ) xa ( x )
，则称
xa ( x )
lim [ f ( x) g ( x)]为0 型.
g ( x) lim [ f ( x) g ( x)] lim xa xa 1 ( x ) ( x ) f ( x)
2
例4. 求
0 0
3x 3 解: 原式 lim 2 x 1 3x 2 x 1 0 0 6x 3
2
lim
x 1 6 x 2

2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
6x lim x 1 6 x 2

6 lim 1 x1 6
e x ex 2x . 例5 求 lim x 0 x sin x 0 解 为 型，由洛必达法则有 0