机器人学导论期末作业
题目：
（图说明，图中的圆柱是只沿特定的转轴方向转动的转动副，不是空间圆柱副，没有沿轴线方向的移动）
要求：应用螺旋理论方法求解该机构运动的自由度以及受到的约束。

过程求解：
1、 首先先求解每个分支运动链的运动螺旋系。

分析1分支运动系：
(1) 11R 的分析。

首先该转动副的轴线方向与x 轴相同，所以我将取它的(10
0)s =,
1111
11()r x y z =, 求解011
111111111111(0)10
0i j k s r s x y z z j y k z y ⎛⎫
⎪
=⨯==-=- ⎪ ⎪⎝
⎭
，
所以运动螺旋111111(100;0)R z y =-
(2) 因为12R 、13R 的轴线方向与11R 相同，都是平行于x 轴，所以它们的s 是相同的，均为
(100)s =，只是相对于坐标原点的位置不同，向量r 不同，所以最终求得各自的运
动螺旋为121212(10
0;0)R z y =-，131313(100;0)R z y =-。

(3) 综上可得，分支运动链1的运动螺旋系为：1111111212
1213
1313(100;0)(100;0)(100;0)
R z y R z y R z
y =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，根据
互矩为0，可以求出该分支的约束螺旋系111213
(100;000)(000;010)(000;001)r r r R R R ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，其中11r
R 表
示作用在x 轴线上的约束线矢，12r R 表示绕y 轴的约束力偶，13
r
R 表示绕z 轴的约束力偶。

2、 分析3分支运动系。

由于分支3的各转动副的轴线方向完全与分支1的对应相同，都平
行于x 轴，所以同理可得分支3的运动螺旋系为3131
313232
3233
3333(100;0)(100;0)(100;0)
R z y R z y R z
y =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，
而相应的约束螺旋系为313233
(100;000)(000;010)(000;001)r r r R R R ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，其中31r
R 表示作用在x 轴线上
的约束线矢，32r R 表示绕y 轴的约束力偶，33r
R 表示绕z 轴的约束力偶。

3、 分析2分支运动系。

(1) 21R 的分析首先该转动副的轴线方向与y 轴相同，所以我将取它的(010)s =,
212121()
r x y z =, 求解
02
1
(0)
01
i j
k
s r s
x y ⎛⎫
⎪=⨯==-+=-
⎪ ⎪⎝
⎭
，所以运动螺旋1121
21(010;0)R z x =-
(2) 同理可求得，
122222(010;0)R z x =-，132323(010;0)R z x =-。

(3) 综上所述，分支运动链2的运动螺旋系为：21212122222223
2323(010;0)
(010;0)(010;0)R z x R z x R z x =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，约束
螺旋系为：212223
(010;000)(000;100)(000;001)r
r r R R R ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
其中21r
R 表示作用在y 轴线上的约束线矢，22
r R 表示作绕x 轴的约束力偶，23r
R 表示作绕z 轴的用在z 轴上的约束力偶。

4、将上述每个分支收到的约束全部放在一起得：
11
12
13
21
22
(100;000)
(000;010)
(000;001)
(010;000)
(000;100)
r
r
r
r
r
R
R
R
R
R
⎧=
⎪
=
⎪⎪
=
⎨
⎪=
⎪
⎪=
⎩
，此时的
这几项约束，即为最终机构的总约束，对其求互矩得(000;001)
R=即为机构的最终运动螺旋，该运动螺旋可以实现的运动是沿z轴的移动。

所以该结构仅仅只有这一个自由度。