证 令 G ( x , y ) Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F ,
则有 G x ( P0 ) 2 Ax0 2 By0 2 D , G y ( P0 ) 2 Bx0 2Cy0 2 E .
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2 2
由此得到所求切线为
F ( x, y) 0; 曲线 L ：
P0 ( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 条件：
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
L 在 P0 处的切线：
( x x0 ) y y0 F ( P ) F ( P ) x 0 y 0
例1 求笛卡儿叶形线
2 ( x3 y3 ) 9 x y 0
在点 P0 (2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x , y ) 2( x 3 y 3 ) 9 x y . 由§1 例 2 的讨
论 ( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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或 x x
0
( y y0 ) . F ( P ) F ( P ) y 0 x 0
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总之, 当 ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
切线方程 : Fx ( P0 )( x x0 ) F y ( P0 )( y y0 ) 0; (1) 法线方程 : F y ( P0 )( x x0 ) Fx ( P0 )( y y0 ) 0 . 法向量 : n ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) );
的条件. 容易算出
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 )) (15, 12),
于是所求的切线与法线分别为
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5 x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4 x 5 y 13 0 .
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由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 )( x ) (1 )( y 2 ) 0, (1 )( x ) ( 2 )( y ) 0 .
3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3
P0

图 18－6 前页 后页 返回
例3 设一般二次曲线为
L : Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0,
2 2
P0 ( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象.
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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L
( Ax0 By0 D)( x x0 ) ( Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即
F ( Ax02 2 Bx0 y0 Cy0 2 2 Dx0 2 Ey0 ),
整理后便得到
Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
§3 几 何 应 用
在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法.
一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 *四、用参数方程表示的曲面
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一、平面曲线的切线与法线
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二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论.
在第五章§3 已学过, 对于平面曲线
x x( t ), y y( t ), t ,
若 P0 ( x0 , y0 ) ( x( t0 ), y( t0 )) 是其上一点, 则曲线 在点 P0 处的切线为 y ( t 0 ) x x0 y y0 y y0 ( x x0 ), 或 . x ( t 0 ) x ( t 0 ) y( t0 ) 下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
L : x x( t ), y y( t ), z z ( t ), t .
若 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L , 且有
x 2 ( t0 ) y 2 ( t0 ) z 2 ( t0 ) 0,
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6).
令 F ( x , y ) x 2 y sin x y , 容易求出:
F ( P ) (2 x y cos xy ) 2 3 3 2 , P0 x 0 Fy ( P0 ) (1 x cos xy ) P 1 3 . 0
2 L : x y sin x y 0 例2 用数学软件画出曲线
的图象；并求该曲线在点 P0 (
切线与法线.
3
, 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);