台州中学2014学年第一学期期中试题高二 数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．直线72=-y x 与直线012=--y x 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．异面 2．下列命题中正确的是 ( )A ．一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行．B ．平行于同一直线的两个平面平行．C ．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．D ．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．3．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则实数a 的值为（ ） A ．-1 B. 1 C. 3 D. -34．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．4πB ．πC ．54πD ．32π5．点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．6C ．22D ．10 6．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ）A.1:3B. 3:1C.1:33D. 9:17．已知坐标原点O 在圆x 2+y 2-x+y+m=0外，则m 的取值范围是 ( ) A ．0<m<21B ．m<21 C ． m≤21D ． m>0 8．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 9．过点（，0）引直线l 与曲线21y x =- 交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ） A ．33B ．33-C ．33±D ．3-10．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( )俯视图BDCAEBCD'ADE KA ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分） 11．点(1,3)P -关于直线0=-y x 的对称点Q 的坐标为 12．若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x ，0)三点共线，则x=13．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 14．A 是锐二面角βα--l 的α内一点,β⊥AB 于点A AB B ,3,=到l 的距离为2，则二面角βα--l 的平面角大小为15．过点A (0，73)，B (7,0)的直线l 1与过(2,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 的值为________． 16．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，2=BC ，5=AC ，31=AA ，M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，△1AMC 的面积为______。
17．如图，在三棱锥BCD A -中，AD AC AB ,,两两互相垂直，4AB AC AD ===．点 P ，Q 分别在侧面ABC 、棱AD 上运动，2PQ =，M 为线段PQ 中点，当P ，Q 运动时，点M 的轨迹把三棱锥BCD A -分成上、下两部分的体积之比等于_________________．三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
） 18．（本小题满分8分） 直线l 过点P(4,1)，(1)若直线l 过点Q(－1,6)，求直线l 的方程；(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．19．（本小题满分9分）如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ． （1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．20．（本小题满分12分）已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-= (1) 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ； (2) 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；(3) 若定点P （1，1）满足2PB AP =u u u r u u u r，求直线l 的方程。
21．（本小题满分10分）已知直角梯形ABCD 和矩形CDEF 所在的平面互相垂直，,DC AD ⊥AB //,DC ,4===DE AD AB ,8=DC（1）证明：；平面BCF BD ⊥（2）设二面角D BC E --的平面角为α,求αsin ；（3）M 为AD 的中点，在DE 上是否存在一点P ，使得MP//平面BCE ？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由。
22（本小题满分10分） 已知圆045144:22=+--+y x y x C 及点)3,6(Q . （1）若),(y x M 为圆C 上任一点，求63--=x y K 的最大值和最小值； （2）已知点)3,6(-N ，直线036=+--k y kx 与圆C 交于点A 、B. 当k 为何值时⋅取到最小值。
台州中学2014学年第一学期期中试题高二 数学（理科）三、解答题（本大题5小题，共49分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
） 18. （本小题满分8分）解：(1)直线l 的方程为y －16－1＝x －4－1－4，化简，得x ＋y －5＝0.(4分)(2)设直线l 的方程为y －1＝k (x －4)，l 在y 轴上的截距为1－4k ，在x 轴上的截距为4－1k ，故1－4k ＝2(4－1k )，得k ＝14或k ＝－2，直线l 的方程为y ＝14x 或y ＝－2x ＋9.（8分）19. （本小题满分9分）证明：⑴设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，由N 为PD 的中点知EN =//21DC ， 又ABCD 是矩形，∴DC =//AB ，∴EN =//21AB 又M 是AB 的中点，∴EN =//AN ， ∴AMNE 是平行四边形∴MN ∥AE ，而AE ⊂平面PAD ，NM ⊄平面PAD ∴MN ∥平面PAD （4分） 证明：⑵∵PA ＝AD ，∴AE ⊥PD ，又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD∴CD ⊥AE ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD ， ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ， 又MN ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面PCD. （9分）20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）解法一：圆22:(1)5C x y +-=的圆心为(0,1)C 5。
∴圆心C 到直线:10l mx y m -+-=的距离215221m m d m m -=≤=<+∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；P NCBMAD E方法二：∵直线:10l mx y m -+-=过定点(1,1)P ，而点(1,1)P 在圆22:(1)5C x y +-=内∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点；（4（Ⅱ）当M 与P 不重合时，连结CM 、CP ，则CM MP ⊥，∴222CM MP CP+=设(,)(1)M x y x ≠，则2222(1)(1)(1)1x y x y +-+-+-=， 化简得：22210(1)x y x y x +--+=≠ 当M 与P 重合时，1,1x y ==也满足上式。
故弦AB 中点的轨迹方程是22210x y x y +--+=。
（8分）（Ⅲ）设1122(,),(,)A x yB x y ，由2PB AP =u u u r u u u r ，∴1211(1)2x x -=-，化简的2132x x =-………………①又由2210(1)5mx y m x y -+-=⎧⎨+-=⎩消去y 得2222(1)250m x m x m +-+-=……………（*） ∴212221m x x m +=+ ………………………………② （10分） 由①②解得21231m x m +=+，带入（*）式解得1m =±， ∴直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=。
（12分）21.（本小题满分10分）(1)Θ面ABCD ⊥面CDEF ，且矩形CDEF 中,DC FC ⊥∴,ABCD FC 面⊥DB FC ⊥ 在直角梯形ABCD 中易得,BC DB ⊥ BCF BD 平面⊥∴（3分）(2)Θ,ABCD FC 面⊥ED//FC ABCD ED 面⊥∴又,BC DB ⊥BC EB ⊥∴EBD ∠∴二面角D BC E --的平面角αEBD ∠=∴sin sin α33344===BE DE （7分）（3）猜想1=DP 。
取ED,EC 的四等分点P,Q ，使得ED=4PD ，EC=4QC ，易得PQ=MN ，PQ//MN ，所以四边形PQNM 为平行四边形。
MP//平面BCE （10分）22（本小题满分10分）⊙222)22()7()2(:=-+-y x C（1）⊙C 与直线036=+--k y kx 有公共点。
221|3672|2=≤++--=r k k k d 解得3232+-≤≤--k .所以32max +-=K ；32min --=K .（4分） （2）记),(),,(2211y x B y x A 将直线方程代入圆方程得： 0)143(12)123(4)1(2222=+++++-+k k x k k x k 由0≥∆ 得 3232+-≤≤--k1)123(42221+++=+k k k x x1)143(122221+++=k k k x x （6分） )3)(3()6)(6(2121--+++=⋅y y x x （8分） )1(36))(66()1(2212212+++-++=k x x k x x k ]1147[242+-+=k k ]212)1(147[24+-+-+=k k 21-=k 时⋅取到最小值。
（10分）。