§3.3 连续随机变量函数的密度函数 问题的提出
在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数 感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量 不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接 测量 的随机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积 Y， 我们能够直接 测量的是直径 X，且当直径 X 取 x 值 时，截面面积Y 的取值为
例3 假设随机变量X具有概率密度 fX(x)，-<x<+ , 求Y=X2的概率密度。
解：法一：分布函数法
设X 和Y的分布函数分别为 FX ( x) 和 FY ( y) 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时， FY(y)=0 当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y )
y 8 ( )0 2
y8 , 8 y 16 fY ( y) 32 0, 其它
1. 当 y =g(x) 是单调函数
定理 若连续型随机变量 X 只在(a, b)上取值，它 的概率密度为 fX(x)，又 y = g(x) 是严格单调的可 导函数，则Y =g (X)是连续型随机变量，其概率 密度为
Notes：只有当Y是X的单调可导函数时，才可用 以上公式推求Y的密度函数。
例2 假设随机变量 X 服从参数为1/2的指数分布， 试求Y=1-e-2X 的分布。
解：
2e 2 x X ~ f X ( x) 0
x0 x0
当x>0时，对于 有
y 1 e
2 x
2 x 2 x y e (2) 2e 0
设X~
x / 8, 0 x 4 f X ( x) 0, 其它
求 Y=2X+8 的概率密度. 解：设X，Y 的分布函数为 FY ( y )，FX(x) FY (y)=P{Y y } = P {2X+8 y } y 8 =P{ X } = FX( y 8 ) 2 2 于是Y 的密度函数
P ( y X y )
FX ( y ) FX ( y )
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , y 0 dFY ( y ) f Y ( y) 2 y dy y0 0, 法二：用公式


当x 0时，y x 单调减函数，反函数为x y
当0 x 2时，
y sin x单调增函数，反函数为x arcsin y
当

2
x 时，
y sin x单调减函数，反函数为x arcsin y



（3） y>1
FY ( y) P(Y y) 1
故Y的分布函数为
0 2 arcsin y FY ( y ) 1
求导数得Y的密度函数为
y0 0 y 1 y 1
2 f Y ( y ) 1 y 2 0
法二：用公式
0 y 1 其他
dFY ( y) y 8 1 fY ( y) fX ( ) dy 2 2
f ( 0)28
X
y
f ( )28 16
X
y y 8
当 8 < y < 16 时，
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x / 8, 0 x 4 fX ( x) 0, 其它
y8 y8 fX ( ) 2 16
当 y 8 或 y 16 时， f X 故
f [h( y)] | h' ( y) |, y fY ( y ) 其他 0
其中 x = h(y) 是 y =g(x) 的反函数，(， )是 y =g(x), a < x < b 的值域。
若X～ f(x), xR, y = g(x)是单调可导函数，则 f [ h( y )] | h( y ) |, y Y＝g(X) ~ fY( y )＝ 0, 其它 其中h( y )为y＝g(x)的反函数， ＝min{g(-),g(+)}，＝max{g(-),g(+)}.
2
当x 0时，y x 单调增函数，反函数为x y y>0时 Y ~ fY ( y ) f ( y ) | y | f ( y ) | y |
2

1 2 y
[ f ( y ) f ( y )]
例4
已知随机变量 X U [0, ], 求Y = sinX
的概率密度 fY ( y)

且
y 1 e
2 x
, x 0 为x的单调增函数
1 xy 2(1 y )
ln( 1 y ) x , y (0,1) 2
所以
ln( 1 y ) f X ( ) | xy | y (0,1) fY ( y ) 2 0 其他
2( ln(12 y ) ) 1 2e 2(1 y ) 0 y (0,1) 其他
解： （1）y<0时， FY ( y) P(Y y) P(sin X y) 0
(2)0 y 1时
FY ( y ) P(Y y ) P(sin X y ) P(0 X arcsin y ) P( arcsin y X ) arcsin y arcsin y 2 arcsin y
1 0
即Y~U(0,1)
y (0,1) 其他
2. 当y=g(x)是非单调函数 法一：用基本方法（从分布函数出发）
(1)Y ~ FY ( y) P{Y y} P{X D}
(2)Y ~ fY ( y) FY ( y)
法二：变成几个单调区间，在每个单调区间 上用公式结果在求和
1 2 y x 4
一般地，设X, Y 是两个随机变量，y=g(x)是
一个已知函数，如果当X 取值 x 时，Y取值为
g(x)，则称Y 是随机变量X 的函数。记为Y=g(X)
问题是：如何由已知的随机变量X 的概率分布 去求得它的函数Y=g(X)的概率分布
一.
例1
一维连续型随机变量函数的密度函数