概率论与数理统计
第八讲
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独立试验序列概型
关于上一次作业的问题 请注意全概率公式和贝叶斯公式的题型, 将试 验可看成分为两步做, 如果要求第二步某事 件的概率, 就用全概率公式, 如果是在第步 二某事件发生条件下第一步某事件的概率, 就用贝叶斯公式. 但是有的同学根本就没有仔细看全概率公式, 因此写成: P(B)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)+…
解 设B为事件至少有两件一级品. 此为n=10重 贝努里试验, 事件A(抽到一级品)的概率p=0.6
P( B) 1 P( B ) 1 p10 (0) p10 (1) 1 0.4 10 0.6 0.4 0.998
10 9
1999年MBA试题 设A1,A2,A3为3个独立事件, 且P(Ak)=p (k=1,2,3, p>0). 则3个事件不全发 生的概率是 (A) (1p)3 (B) 3(1p) (C) (1p)3+3p(1p) (D) 3p(1p)2+3p(1p) (E) 3p(1p)3 解 此题为3重贝努里试验, 设事件B为3个事件 不全发生, 则B的逆为3个事件全发生的概率 为p3, 因此P(B)=1p3, 而上面的选项(C)为 (1p)3+3p(1p)=1p3 满足要求, 因此应选(C)
2
2
P( B3 ) P( A B C ) 0.2
3
总结写成P( Bk ) C3k 0.2 k 0.83 k , (k 0,1,2,3)
例4 一批产品的废品率为0.1, 每次取一个, 观 察后放回去, 下次再取一个, 共重复3次, 求这3 次中恰有0,1,2,3次取到废品的概率. 解 用事件A,B,C分别表示第1,2,3次取到废品 的事件, 则A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 将A,B,C的所有最小 项列出来为
解 此为多选题, 正确的答案为(b),(c),(d). 这是 因为(a)为恰有两个班超额完成的最小项之和, 而(b)为至少两个班的典型表示式, (c)为最小 项表示, 而(d)表示至少两个班不超额的逆
独立试验概型 在概率论中, 把在同样条件下重复进行试验的 数学模型称为独立试验序列概型. 进行n次试验, 若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情 况的影响, 则称这n次试验是相互独立的. 而多个独立试验可以在多个场景同时进行, 也 可以按时间顺序进行.
书上补充习题1(226页) 某工厂每天分3个班生 产, 事件Ai表示第i个班超额完成生产任务 (i=1,2,3)). 则至少有两个班超额完成任务可以 表示为 (a) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (b) A1 A2 A1 A3 A2 A3
(c) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (d ) A1 A2 A1 A3 A2 A3
n
假设C为至多发生一次的事件, 则 P(C ) pn (0) pn (1) (1 p) np (1 p)
n n 1
1988年理工科考研题 设三次独立试验中, 事 件A出现的概率相等, 若已知A至少出现一次 的概率等于19/27, 则事件A在一次试验中出 现的概率为_________ 这是贝努里概型试验, 试验次数n 3为已知, 但每次试验A出现的概率p未知, 假设事件B 为3次试验A至少出现一次, 则 19 3 P( B) 1 P( B ) 1 (1 p) 27 8 2 1 3 (1 p) , 开立方得 (1 p), 解得p 27 3 3
事件运算的最小项 任给n个事件A1,A2,…,An, 取这n个事件中的每 一个,然后将其中的一些取逆, 再将这n个事 件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事 件, 称为这n个事件的一个最小项. 给定n个 事件可产生多个不同的最小项, 各个最小项 之间是互不相容的. 而这n个事件能够逻辑上构成的任何事件, 可 以由若干个最小项的并构成.因此要计算这 样的事件的概率, 只需要按加法法则将所包 含的各个最小项的概率相加即可.
A B C , A B C , A BC , A BC AB C , AB C , ABC , ABC
假设B0,B1,B2,B3为有0,1,2,3台机床需要照料 的事件,则根据所列出的最小项可得
A B C , A B C , A BC , A BC , AB C , AB C , ABC , ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
A B C , A B C , A BC , A BC AB C , AB C , ABC , ABC
假设B0,B1,B2,B3为恰抽到0,1,2,3个废品的事 件, 则根据所列出的最小项可得
A B C , A B C , A BC , A BC , AB C , AB C , ABC , ABC 000 001 010 011 100 101 110 111
例, 二事件A与B可组成四个最小项为
A B , A B, AB , AB 由A, B产生的任何逻辑式式都可以 由这四个最小项中的几个的并产生 如A AB AB A B AB AB A B A B A B A B A B AB AB
A B A B AB AB
3
P( B0 ) P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) 0.8 P( B1 ) P ( A BC AB C ABC )
P( A BC ) P( AB C ) P( ABC ) 3 0.2 0.8 P( B2 ) P( A B C A BC AB C ) 3 0.2 0.8
1987年理工科考研题 设在一次试验中A发 生的概率为p, 现进行n次独立试验, 则事件A 至少发生一次的概率为___; 而事件A至多发 生一次的概率为_____. 解 假设B为至少发生一次的事件,由贝努里
概型的概率计算公式, P( B ) (1 p) ,
n
P( B) 1 P( B ) 1 (1 p )
1999年MBA试题 进行一系列独立试验, 每 次试验成功的概率为p, 则在成功2次之前已 经失败了3次的概率为( ) (A) 4p2(1p)3 (B) 4p(1p)3 (C)10p2(1p)3 (D) p2(1p)3 (E) (1p)3
解 成功2次之前已经失败了3次的事件一定已 经进行了5次试验, 第5次是成功的, 且前4次 一定还有一次成功. 前4次有一次成功的概 率是p4(1)=4p(1p)3, 则再考虑第5次的成功, 成功2次前失败3次的概率为4p2(1p)3 因此, 应填选项(A)
3
P( B0 ) P( A B C ) P( A ) P( B ) P( C ) 0.9 P( B1 ) P( AB C A BC A B C )
P ( AB C ) P( A BC ) P( A B C ) 3 0.1 0.9 P( B2 ) P( ABC AB C A BC ) 3 0.1 0.9
Bk由C 个最小项构成, 相当于所有n位二进制数中
k n
有k个1的数的个数.而且每个最小项的概率都一 样, 均为p k (1 p) n k p k q n k , 其中q 1 p.因此 P( Bk ) C p q
k n k nk
(k 0,1,2,..., n)
上面例子的共同特点是 在每次试验中某事件A或者发生或者不发生, 假设每次试验的结果与其它各次试验结果 无关, 即在每次试验中A出现的概率都是 p(0<p<1), 这样的一系列重复试验(比如n次), 称为n重贝努里试验. 因此, n重贝努里试验共有两个关键参数, 一个 是每次试验A发生的概率, 一个是试验次数n. 注意A并非n重试验的样本空间的事件, 它只 是一次试验中的事件, 而在n重试验中, 它转 化为A1,A2,…,An
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作业 习题一第29页开始
第37,38,40题
例1 甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照 管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率均 为0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部机床需要工人照 管的概率. 解 用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床 甲,乙,丙不需工人照管.依题意A,B,C相互独立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 将ABC的所有最小 项列出来为
而正确的全概率公式是这样 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+… 因此, 在假设事件中, 除了划分的假设A1,A2,… 外, 只假设一个最终的事件. 当然, 因为全概率公式是来自 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+… 因此也有人这样假设事件, 即假设D1=A1B1, D2=A2B2,… P(B)=P(D1)+P(D2)+… 但这种作法习惯不好.
这8个最小项可以和所有的3位二进制数一 一对应 A B C 000
A B C 001 A BC 010 A BC AB C AB C ABC ABC 011 100 101 110 111
一般地 n个事件A1,A2,…,An共可组成2n个最小项, 每个 最小项可以和一个n位二进制数对应, 如果 此二进制数的第i位为0, 对应在此最小项中 的Ai取逆, 而第j位为1对应在此最小项中的 Aj不取逆.
n k 0 k n k n nk
用贝努里定理中的p和q 1 p代入上式 可得 ( p q) C p q
n k 0 k n k n nk
1
n
可见事件A发生k次的概率为( p q ) 展开后的p的k次项.