数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验四矩阵的运算（一）投入产出分析一．实验目的1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩阵等的含义。
二．问题描述设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表根据表回答下列问题：（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?三.实验过程1．问题（1）的求解（1）求直接消耗矩阵A根据直接消耗的计算公式a ij=x ij/x j和各部门中间需求;x n a n运行如下代码可得直接消耗系数表。
X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];X_colsum=[100 200 150];X_rep=repmat(X_colsum,3,1)A=X./ X_rep运行结果为：A =0.1500 0.1000 0.20000.3000 0.0500 0.30000.2000 0.3000 0 （2）求解根据公式X=(I-A)-1y在运行如下代码y=[50;150;100];n=size(y,1);W=eye(n)-A;X=W\y运行结果为X =139.2801267.6056208.1377即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。
2．问题2求解设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果：dx=inv(W)运行结果:dx =1.3459 0.2504 0.34430.5634 1.2676 0.49300.4382 0.4304 1.2167根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加 1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。
四．实验总结投入产出的理论依据，主要是矩阵运算和逆矩阵，投入和产出分析在编制和修订宏观计划、开展紧急预测和项目效果预测、研究价格水平及其变动影响，研究产业结构及其关联程度，投资对消费的带动分析等方面对会有很重要的应用。
（二）Hill密码的加密、解密与破译一、实验目的1. 复习线性代数, 矩阵, 线性空间与线性变换等概念和运算.2. 熟悉Hill密码体制的加密, 解密和破译过程.3. Hill密码体制的加密, 解密和破译过程的MATLAB编程实践.二、问题描述对明文为“Mr Hill made this code”,利运用不同的密匙矩阵加密矩阵，实现Hill加密与解密过程。
三．实验过程（1）模型建立于问题分析简单起见，为了使明文参与矩阵运算，建立如下表格2-1：表2-1 26个英文字母、空格、句号与数字之间的对应关系设明文为M=（m1, m2,...,m i）T，密匙矩阵为可逆的l x l 的方阵，则经过线性变换得到密文C=E K（M）=（c1c2 (I)T，其中C1=(k11m1+ k12m2+…+ k1l m l)mod28,C2=(k21m1+ k22m2+…+ k2l m l)mod28,………….C l=(k l1m1+ k l2m2+…+ k ll m l)mod28,或写成矩阵形式C=（KM）mod28,其中C=（C1，C2，…，C l）T ，M=（m1，m2，…，m l）T，K=(k ij)lxl 解密得明文M=（K-1C）mod28注意，明文、密文都是非负实数，故密匙矩阵K及其逆矩阵K-1的元素都应该是非负实数，不能是负整数、分数、或小数。
当密匙矩阵K的行列式的值等于+1或-1，则逆矩阵K-1的元素是整数。
若K-1的元素有负整数，再对矩阵K-1的所有元素加28的若干倍，再取模28，可保证矩阵K-1的所有元素为正整数。
密文解密后可得非负整数明文M,与原明文相同。
（2）加密对明文为“Mr Hill made this code。
”,按表2-1的规则映射为数集{13，18，0，8，9，12，12，0，13，1，4，5，0，20，8，9，19，0，3，15，4，5，27，0}，假设将消息从左到右，每4个字符分为一组，并将对应的四个整数排列成4维的列向量，加密后仍为4维的列向量，其分量仍为整数，要发出的消息可写为一个矩阵：. 13 9 13 0 19 4M= 18 12 1 20 0 50 12 4 8 3 278 0 5 9 15 0为求出合适的密匙矩阵K1，在一个4x4阶矩阵中，任设二元函数的值为x,y,其余元素给出具体的非负整数值，并令其行列式的值的绝对值为1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取：4 x 8 yK1= 12 1 6 9 , I K1I=1,3 64 62 113 8利用如下的MATLAB代码可求得密匙矩阵K1的行列式：syms x y;K=[4,x,8,y;12,1,6,9;3,6,4,6;2,11,3,8];det_K=det(K)运行结果：det_K=-760-105*x+187*y可知二元一次方程为-760-150x+187y=1，即105x-187y=-761. 下面利用辗转相除法求一整数解。
设u=x,v=-y,得105u+187v=-761对上式辗转相除：187=1x105+82105=1x82+2382=3x23+1313=1x10+310=3x3=13=3x3=0从而得到187 = 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 105 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0= 187 57 1 = Q 1105 32 0 0 ,即1 = Q-1 187 = -32 57 1870 105 105 -187 105也即105x57+187x(-32)=1两边同时乘以-761，得105x(-43377)+187x24352=-761故u=-43377,v=24352为一个特解，从而u=-43377-187t,v=24352+105t,t为整数故而x=-43377-187t,y=-24532-105t,t为整数不妨取t=-232,可得x=7,y=8.从而密匙矩阵可取为4 7 8 8K1= 12 1 6 93 64 62 113 8以上过程可采用如下的MATLAB代码实现;syms t;Q=[1 1;1 0]* [1 1;1 0]* [3 1;1 0]* [1 1;1 0]* [1 1;1 0]* [3 1;1 0]* [3 1;1 0]S=[187;105]Q*[1;0]Q_inv=inv(Q)uv0=[-761*Q_inv(1,2) -761*Q_inv(1,1)]gs=gcd(S(1),S(2));u=uv0(1)-S(1)/gs*t;v=uv0(2)+S(2)/gs*t;u0=uv0(1)-S(1)/gs*(-232);v0=uv0(2)+S(2)/gs*(-232);x0=u0,;y0=-v0;于是将要发出的信息乘以K1变成“密码”后发出：4 7 8 8 13 9 13 0 19 4（K1M）mod 28 = 12 1 6 9 18 12 1 20 0 53 64 6 0 12 4 8 3 272 113 8 8 0 5 9 15 018 20 19 24 24 15C= 22 24 2 9 17 1927 7 7 10 19 108 18 5 8 27 4对照表2-1可知接受者接到的密文是”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”.(3)解密接收者收到信息”rv.htxgrsbgexijhxqs.osjd”后，运用事先约定的密匙矩阵K1的逆矩阵K-1解密，从密码中恢复明文，当K-1得元素出现负整数，则加上28的若干倍数，使它的元素全为非负整数，再取模28可得解密的密匙矩阵K2 根据表2-1，反过来查表，即可得明文，解密正确。
给定密匙矩阵，利用如下代码可求得问题的解:M=[13 9 13 0 19 4;18 12 1 20 0 5;0 12 4 8 3 27; 8 0 5 9 15 0];K1=[4 7 8 8; 12 1 6 9; 3 6 4 6;2 11 3 8];det(K1)C=mod(K1* M,28)K1_inv=inv(K1)K1_inv=round(K1_inv);K2=mod(K1_inv,28)M=mod(K2*C,28)ans =1.0000C =18 20 19 24 24 1522 24 2 9 17 1927 7 7 10 19 108 18 5 8 27 4 K1_inv =-112.0000 -34.0000 371.0000 -128.0000 -105.0000 -32.0000 348.0000 -120.0000 -39.0000 -12.0000 130.0000 -45.0000 187.0000 57.0000 -620.0000 214.0000 K2 =0 22 7 127 24 12 2017 16 18 1119 1 24 18M =13 9 13 0 19 418 12 1 20 0 50 12 4 8 3 278 0 5 9 15 0此矩阵与原矩阵相符，解密成功。
现依照上面步骤取另一个可逆矩阵K2，来作为密匙为求出合适的密钥矩阵K2，在一个4*4阶的矩阵中，任设二元素的值为x，y，其余元素给出具体的非负整数数字，并令其行列式的值等于1或-1，可得一个二元一次或二元二次不定方程，可求其正整数解，如取1 x2 yK2 = 3 1 6 9 ,|K2|=1.3 64 62 73 8利用如下的代码可求得密钥矩阵K2行列式：syms x y;K=[1,x,2,y;3,1,6,9;3,6,4,6;2,7,3,8];det_K=det(K)运行结果：det_K =21*x - 23*y + 62可知二元一次方程为21x-23y+62=1，即21x+61=23y下面利用枚举法求一整数解，代码如下：x=1;while mod(21*x+61,23)~=0x=x+1;endxy=(21*x+61)/23运行结果：x =19y =20故密钥矩阵（发送者和接受者事先都知道的矩阵）可取为1 192 20K2= 3 1 6 93 64 62 73 8于是将要发出的信息（或矩阵）经乘以K2变成“密码”后发出：(K2 M)mod28= 11 9 0 16 17 1317 27 25 9 14 1127 7 7 10 19 1020 26 1 12 27 12=C对照表5-4可知接受者收到的密文是“kg.ti.gz ygapijlqns.mkjl”.3．解密接受者收到信息“kg.ti.gz ygapijlqns.mkjl”后，运用事先约定的密钥解密，即用K2-1= -112 -54 -271 54421 10 51 -10287 42 211 -423-23 -11 -56 112从密文中恢复明文。